POJ 1061 青蛙的約會 （擴展歐幾里得算法）

題目連接

Description

兩隻青蛙在網上相識了，它們聊得很開心，因而以爲頗有必要見一面。它們很高興地發現它們住在同一條緯度線上，因而它們約定各自朝西跳，直到碰面爲止。但是它們出發以前忘記了一件很重要的事情，既沒有問清楚對方的特徵，也沒有約定見面的具體位置。不過青蛙們都是很樂觀的，它們以爲只要一直朝着某個方向跳下去，總能碰到對方的。可是除非這兩隻青蛙在同一時間跳到同一點上，否則是永遠都不可能碰面的。爲了幫助這兩隻樂觀的青蛙，你被要求寫一個程序來判斷這兩隻青蛙是否可以碰面，會在何時碰面。
咱們把這兩隻青蛙分別叫作青蛙A和青蛙B，而且規定緯度線上東經0度處爲原點，由東往西爲正方向，單位長度1米，這樣咱們就獲得了一條首尾相接的數軸。設青蛙A的出發點座標是x，青蛙B的出發點座標是y。青蛙A一次能跳m米，青蛙B一次能跳n米，兩隻青蛙跳一次所花費的時間相同。緯度線總長L米。如今要你求出它們跳了幾回之後纔會碰面。

Input

輸入只包括一行5個整數x，y，m，n，L，其中x≠y < 2000000000，0 < m、n < 2000000000，0 < L < 2100000000。

Output

輸出碰面所須要的跳躍次數，若是永遠不可能碰面則輸出一行"Impossible"

Sample Input

1 2 3 4 5

Sample Output

4

分析：

開始用了暴力枚舉，後來一看數據這麼大，估計確定超時，無奈上網搜索了一下，考察的是擴展歐幾里德算法，還有比較大的整數_int64的處理。

設通過s步後兩青蛙相遇，則必知足該等式：(x+ms)-(y+ns)=kl(k=0,1,2....)
將等式進行變形得：(n-m)s+kl=x-y
令n-m=a,k=b,x-y=c,即原式能夠轉換爲：as+b*l=c
若上式存在整數解，則兩青蛙能相遇，不然不能。

首先想到的一個方法是用兩次for循環來枚舉s,l的值，看是否存在s,l的整數解，若存在則輸入最小的s，但顯然這種方法是不可取的，誰也不知道最小的s是多大，若是最小的s很大的話，超時是明顯的。

其實這題用歐幾里德擴展原理能夠很快的解決，先來看下什麼是歐幾里德擴展原理：
歐幾里德算法又稱展轉相除法，用於計算兩個整數a,b的最大公約數。其計算原理依賴於下面的定理：gcd(a,b) = gcd(b,a mod b)
證實：a能夠表示成a = kb + r，則r = a mod b
　　 假設d是a,b的一個公約數，則有d|a, d|b，而r = a - kb，所以d|r，因此d是(b,a mod b)的公約數
　　 假設d 是(b,a mod b)的公約數，則d | b , d |r ，可是a = kb +r，所以d也是(a,b)的公約數
　　 所以(a,b)和(b,a mod b)的公約數是同樣的，其最大公約數也必然相等，得證

歐幾里德算法就是根據這個原理來作的，其算法用C++語言描述爲：　

int Gcd(int a, int b)
{
    　　if(b == 0)
        　　return a;
    return Gcd(b, a % b);　　
}

也能夠寫成迭代的形式：

int Gcd(int a, int b)　
{
    while(b != 0)
    {
        int r = b;
        b = a % b;
        a = r;
    }
    return a;
}

補充: 擴展歐幾里德算法是用來在已知a, b求解一組x，y使得ax+by=Gcd(a,b)(解必定存在，根據數論中的相關定理)。擴展歐幾里德經常使用在求解模線性方程及方程組中。下面是一個使用C++的實現：

int exGcd(int a, int b, int &x, int &y)　
{
    if(b == 0)
    {
        x = 1;
        y = 0;
        return a;
        　　
    }
    int r = exGcd(b, a % b, x, y);
    int t = x;
    x = y;
    y = t - a / b * y;
    return r;　　
}

把這個實現和Gcd的遞歸實現相比，發現多了下面的x,y賦值過程，這就是擴展歐幾里德算法的精髓。
能夠這樣思考:
對於a' = b, b' = a % b 而言，咱們求得 x, y使得 a'x + b'y = Gcd(a', b')
因爲b' = a % b = a - a / b * b (注：這裏的/是程序設計語言中的除法)
那麼能夠獲得:a'x + b'y = Gcd(a', b') ===>
　　bx + (a - a / b * b)y = Gcd(a', b') = Gcd(a, b) ===>
　　ay +b(x - a / by) = Gcd(a, b)
所以對於a和b而言，他們的相對應的p，q分別是 y和(x-a/by).
　　
在網上看了不少關於不定方程方程求解的問題，可都沒有說全，都只說了一部分，看了好多以後才真正弄清楚不定方程的求解全過程，步驟以下：
求a * x + b * y = n的整數解。
一、先計算Gcd(a,b)，若n不能被Gcd(a,b)整除，則方程無整數解；不然，在方程兩邊同時除以Gcd(a,b)，獲得新的不定方程a' * x + b' * y = n'，此時Gcd(a',b')=1;
二、利用上面所說的歐幾里德算法求出方程a' * x + b' * y = 1的一組整數解x0,y0，則n' * x0,n' * y0是方程a' * x + b' * y = n'的一組整數解；
三、根據數論中的相關定理，可得方程a' * x + b' * y = n'的全部整數解爲：
x = n' * x0 + b' * t
y = n' * y0 - a' * t
(t爲整數)
上面的解也就是a * x + b * y = n 的所有整數解。

代碼：

#include<stdio.h>
#include<iostream>
using namespace std;
#define LL long long
LL exgcd(LL a,LL b,LL &x,LL &y)
{
    if(!b)
    {
        x=1;
        y=0;
        return a;
    }
    else
    {
        LL t=exgcd(b,a%b,y,x);
        y-=(a/b)*x;
        return t;
    }
}
LL x,y,m,n,l;
LL a,b,c;
int main()
{
    scanf("%lld%lld%lld%lld%lld",&x,&y,&m,&n,&l);
    a=m-n;
    b=l;
    c=y-x;
    LL gcd=exgcd(a,b,x,y);
    if(c%gcd) printf("Impossible\n");
    else
    {
        x*=1LL*c/gcd;
        printf("%lld",(x%b+b)%b);
    }
    return 0;
}