樹狀數組

樹狀數組定義：

是一個查詢和修改複雜度都爲log(n)的數據結構。能夠用於處理前綴和的問題,動態維護前綴和的工具

區間修改和區間查詢用樹狀數組會顯得很麻煩 相對而言用線段樹會更靈活。

基本操做：求數列區間和，能夠對數列單點進行操做。

前置知識：

差分數組

lowbit（）操做：返回非負整數x 在二進制表示下，第一個1和後面的0表示的數值（十進制的值）。

int lowbit(int x)
{
     return x&(-x);
}
/*
-i 表明i的負數 計算機中負數使用對應的正數的補碼來表示
k表示i的二進制中末尾連續0的個數。
例如 : i=6（0110） 此時 k=1
-i=-6=(1001+1)=(1010)
 i&(-i)=(0010)=2=2^K k=1.
C[i]=A[i-2^k+1]+A[i-2^k+2]+......A[i];
C[i]=A[i-lowbit(i)+1]+A[i-lowbit(i)+2]+......A[i];
*/

樹狀數組思想：

區間查詢——》前綴和  ——》樹結構維護（log₂n）

樹狀數組 t[x] 保存以x爲根的子樹中葉節值的和 。

觀察 t[x] 中每一個x的二進制，每一層末尾零相同 ，零的個數即K對應覆蓋的長度，覆蓋長度就是lowbit（x）。

 t [x] 的父節點爲 t【x+lowbit[x]】 樹的深度爲 log₂n+1

 

 

基本操做（單點修改 查詢前綴和）

void update(int i,int val)//單點更新
{
    while(i<=n){
        t[i]+=val;
        i+=lowbit(i);//由葉子節點向上更新樹狀數組C，從左往右更新
    }
}
int ask(int x)//求區間[1,i]內全部元素的和 即求前綴和
{
    int ans=0;
    while(x>0){
        ans+=t[x];//從右往左累加求和
        x-=lowbit(x);
    }
    return ans;
}

   

樹狀數組初始化

memset(a, 0, sizeof a);
memset(c, 0, sizeof c);

cin>>n;

for(int i = 1; i <= n; i++){

 　　cin>>a[i];

 　　updata(i,a[i]); //輸入初值的時候，也至關於更新了值

 }

 

 樹狀數組的用法

1.單點修改，單點查詢    update（x,val) ;  ask(x) - ask(x-1);

2.單點修改，區間查詢     update（x,val) ;  ask(r) - ask(l-1);

3.區間修改，單點查詢  （差分數組 ） 

　用樹狀數組維護差分數組的前綴和，即原數列的每一個元素,因爲區間修改 ，產生的改變量。

　區間修改 [l,r]+d    update（l,d)   update(r+1,-d)　

　查詢 a[x]                ans =a[x]+ask(X)　

4. 區間修改，區間查詢 

 　　求出原數列a[x]的前綴和  ans=a[r]-a[l]   原數列的前綴和也能夠用差分數組來求 

 

 

 

 參考