i 的二次冪求和

學習 自爲風月馬前卒 大佬的數學筆記

\(i^2\) 求和

查閱資料咱們很容易就發現 \(\sum_{i = 1}^ni^2 = \frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6}\)

但具體怎麼求得的呢？今天偶然間在 Miskcoo大佬的博客中看到了一種腦洞清奇通俗易懂的證實方法

咱們要求 \(S_n = \sum_{i = 1}^ni^2\)，如今咱們對 \(C_n = \sum_{i = 1}^ni^3\) 進行轉換

首先列一個恆等式

\[\sum_{i = 1}^{n + 1}i^3 = C_n + (n + 1)^3 \]

這裏有個騷操做是把前面的轉化一下

\[\sum_{i = 0}^{n}(i+ 1)^3 = C_n + (n + 1)^3 \]

而後就能夠推柿子啦，

\[\sum_{i = 0}^ni^3+3i^2+3i+1 = C_n + (n + 1)^3 \\ C_n + 3S_n + 3\frac{n(n + 1)}{2} + (n + 1) = C_n + (n + 1)^3\\ \Rightarrow S_n=\frac{2(n + 1)^3 - 3n(n + 1)-2(n +1)}{6}\\ =\frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \]

同時這個方法具備很是強的擴展性，咱們也能夠推導出 \(i^k\) 的公式，可是計算起來的複雜度倒是\(k^2\)的，感受仍是拉格朗日插值 \(klogk\) 好用一些

把 \(1,2,…n\) 帶入維護前綴積後綴積能夠作到 \(k logk\)