i的二次冪求和

\(i^2\)求和

老祖宗告訴咱們\(\sum_{i=1}^n i^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\)

可是這玩意兒是怎麼出來的呢？感受網上用立方差證實的思路太low了，今天偶然間在Miskcoo大佬的博客中看到了一種腦洞清奇通俗易懂的證實方法

咱們要求的是\(S_n = \sum_{i=1}^n i^2\)，如今咱們對\(C_n = \sum_{i=1}^n i^3\)來進行"擾動"。

首先列一個恆等式

\[\sum_{i=1}^{n+1} i^3 = C_n + (n+1)^3\]

這裏有個騷操做是把前面的轉化一下

\[\sum_{i=0}^n (i+1)^3 = C_n + (n+1)^3\]

而後就能夠推柿子啦。

\[ \begin{aligned} \sum_{i=0}^n i^3 + 3i^2 + 3i + 1 &= C_n + (n+1)^3\\ C_n + 3S_n + 3\frac{n(n+1)}{2} + (n+1)&= C_n + (n+1)^3\\ \end{aligned} \]

\[ \begin{aligned} \Rightarrow S_n &= \frac{2(n+1)^3 - 3n(n+1)-2(n+1)}{6}\\ &=\frac{n(2n + 1)(n+1)}{6} \end{aligned} \]

同時這個方法具備很是強的擴展性，咱們也能夠推導出\(i^k\)的公式，可是計算起來的複雜度倒是\(k^2\)的，感受仍是拉格朗日插值\(k \log k\)好用一些

參考資料

冪和