線性代數筆記32——線性變換及對應矩陣

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　　線性變換這個詞在線性代數中常常被說起，每一個線性變換的背後都有一個矩陣。矩陣的概念比較直觀，相比之下，線性變換就顯得抽象了。

線性變換

　　拋開矩陣，咱們從變換的角度討論投影。經過T變換，使平面內的一個向量投影到一條直線上：

　　T就像一個函數：給定一個輸入向量，通過T的變換，輸出成直線上的投影，過去咱們一直用更專業的「映射」稱呼這種變換關係。下圖中v和w是R²空間內的向量，經過T變換變成了直線上的投影，即T(v)和T(w)：

　　

　　變換的關係有不少，而線性代數只討論線性變換。若是T表示一個線性變換關係，對於任意向量v和w以及標量c，線性變換應該保證下面兩個運算的不變性，加法不變性和數乘不變性，這一點和線性組合相似：

　　把兩者結合：

　　順便說一下，投影變換是一種線性變換。

判斷線性變換

　　判斷一個變換是不是線性變換其實並不困難，只要判斷這個變換是否知足加法不變性和數乘不變性便可。

反例1：平移整個平面

　　假設某個變換關係T是平面沿着某個方向平移v₀，也就是說對於平面內的任意向量v，都有T(v) = v + v₀，T變換是不是線性變換？

　　這個看起來很簡單的變換並非線性變換，它違背了線性變換的兩個不變性，以數乘不變性爲例：

　　線性變換的不變性要求對輸入空間內的任意向量都成立，固然也包括零向量，所以一個更簡單的判斷方法就是使用零向量。數乘不變性對於零向量來講將有T(0) = 0，但本例中T(0) = v₀，因此說「平移」變換不是線性變換。

反例2：求向量的長度

　　變換關係T(v) = ||v||是不是線性變換？

　　T變換將產生維度的變化。假設v是一個三維向量，通過T的變換將變成一個大於等於0的實數，也就是一維向量：

　　雖然本例知足T(0) = 0，可是對於數乘不變性來講，若是c是負數，那麼T(cv) ≠ cT(v)，所以本例不是線性變換。

正例1：旋轉變換

　　變換關係T：R²→R²是將一個二維空間的向量旋轉45°，這個變換是不是線性變換？

　　答案是確定的，它符合線性變換的兩個不變性。

　　即便去掉座標軸，依然可以清晰地描述這個變換，下圖是對二維平面內的圖形進行旋轉：

正例2：線性變換與矩陣

　　到目前爲止，線性變換尚未和矩陣產生任何關係。如今有一個變換關係是矩陣乘以一個向量，T(v) = Av，其中A是一個矩陣。根據矩陣乘法的性質：

　　這符合線性變換的兩個判據，所以矩陣乘以向量是一個線性變換。這意味着選中一個矩陣，用它乘以平面上的全部向量，將獲得一系列線性變換後的結果，即整個平面經過矩陣乘法發生了變換，這也是一個值得研究的結果。

　　如今有一個矩陣：

　　若是用A乘以一個R²空間的向量v——固然，A是2×2矩陣，它也只能乘以一個R²空間的向量——將把v線性變換成另外一個向量，變換後的向量的x份量不變，y份量與v的y份量相反：

　　

描述線性變換

　　咱們的目的是理解線性變換，而理解線性變換的本質是肯定線性變換背後的矩陣，雖然能夠在脫離座標和具體數值的狀況下討論線性變換，可是爲了更好地描述，咱們仍然有必要引入座標系。

　　假設有一個三維向量，可以經過某種線性變換變成二維向量，這將是一個怎樣的變換？

　　用矩陣描述這個關係，T(v) = Av，v是三維向量，經過Av變成了二維向量，那麼A必定是一個2×3矩陣。任何一個2×3的矩陣均可以將一個三維向量線性變換成二維向量，每個變換都對應一個具體的矩陣。

輸入空間的基

　　對於平面內特定的向量v₁，只要看看T(v₁)就能夠了解線性變換對它產生的做用。咱們對空間內其它向量的線性變換一樣感興趣，換句話說，咱們想知道線性變換對於整個輸入空間的影響。既然向量空間是由線性無關的向量張成的，那麼只要知道平面內兩個線性無關的向量，就能夠了解平面內全部向量線性變換的結果。也就是說，只要知道輸入空間的基，就能掌握線性變換對整個輸入空間的影響。

　　v₁,v₂……v_n是輸入空間的一組基向量，把它稱之爲輸入基。只要知道全部輸入基的線性變換，就能夠知道輸入空間內任意向量的線性變換：

座標

　　先來看看什麼是座標。

　　Rⁿ空間的座標是一組數字，這些數字表示Rⁿ空間的給定向量v由多少個基向量組成（基向量線性組合的係數），可是基向量不止一組，若是基向量改變了，座標也隨之改變，所以通常來講，座標系創建在標準基的基礎之上。例如一個三維空間的向量的座標是(2,3,4)：

　　上式能夠清晰地看到v是三個標準基向量的線性組合，儘管大多數時候咱們都意識不到這種組合。

　　對於線性組合來講，一旦選定了一組基，座標也隨之肯定。好比對於輸入空間的任意一個向量v來講，均可以用基向量的惟一線性組合表示：

　　一旦向量肯定，其線性組合也隨之肯定，此時c₁, c₂ ,…,c_n就是該向量的一組肯定的座標值。

線性變換與矩陣

　　咱們的目的是肯定線性變換背後的矩陣，矩陣是與座標有關的（矩陣中的元素是肯定的值），而線性變換與座標無關。如今的問題是，如何把一個與座標無關的線性變換變成一個與座標有關的矩陣？

　　假設有T可以完成一個向量從n維空間到m維空間的線性變換：

　　如今咱們打算構造一個矩陣A來描述這個線性變換。在描述時須要兩組基：輸入空間的一組基來描述輸入向量，以及輸出空間的一組基來肯定輸出向量的座標。這兩組基一旦肯定，對應的矩陣也就肯定了。

　　v₁,v₂……v_n是輸入空間的一組基向量，來自Rⁿ空間；w₁,w₂……w_m是輸出空間的一組基向量，來自R^m空間。對於每一個輸入向量來講，都有具體的座標值，該座標由基向量的線性組合肯定，而後把這些座標值乘以某個矩陣A，將獲得相應的輸出向量，輸出向量的座標一樣能夠由輸出空間的基肯定。用矩陣A來表示線性變換，就是將矩陣乘以輸入向量的座標，獲得它在輸出空間的座標。

　　值得注意的是，線性變換背後的矩陣A乘以的是輸入向量的座標，不是輸入向量自己，獲得的也是輸出向量的座標，不是輸出向量自己。定義一個線性變換T(v)，對v = c₁v₁ + c₂v₂ + …… + c_nv_n進行變換，若是用A描述這個變換，則A須要知足：

　　

　　以後用輸出向量的座標對輸出空間的基向量進行線性組合，獲得最終的輸出向量w：

　　因爲咱們以前一直使用的是標準基，所以感受不到座標的存在。

　　

　　咱們以前說過，投影屬於線性變換，這裏正好用投影的例子對上面的描述加以說明。爲了簡單起見，將這個投影定義在二維空間，n = m = 2。參與變換的向量都在平面上，讓平面上的全部向量都投影在一條直線上。選擇輸入空間的兩個基向量v₁和v₂代替R²空間的標準基向量，其中v₁沿着投影方向趴在直線上，v₂垂直於投影方向：

　　上圖特地去掉了座標系，以強調線性變換與座標無關。同時，因爲輸出空間也是R²空間，咱們也一樣用v₁和v₂做爲輸出空間的基，即w₁ = v₁, w₂ = v₂。

　　以前說過，輸入空間和輸出空間的基一旦肯定，對應的矩陣也就肯定了。如今的問題是，根據v₁、v₂和w₁、w₂如何描述這個用於線性變換的變換規則？也就是說，做用於線性變換的矩陣是什麼？

　　對於出入空間的任意向量v，均可以表示成兩個基向量的線性組合：

　　咱們事先已經知道投影變換是一種線性變換，它線性變換的兩個不變性：

　　T表示投影變換，T(v₁)是v₁的投影，沿着直線方向的向量的投影就是這個向量自己，因此T(v₁) = v₁。v₂垂直於直線，它的投影是零向量，因此T(v₂) = 0。由此獲得了投影變換和這組基向量的關係：

　　A用一組特殊的輸入基和輸出基（垂直於直線和沿着直線方向的一組基）描述了線性變換，將矩陣A乘以輸入向量的座標，獲得它在輸出空間的座標：

　　若是改用標準座標基，即：

　　投影的直線也須要給出具體的位置，假設T(v)變換是將向量投影到45°的直線上：

　　如今嘗試找出這個符合要求的矩陣，也就是投影矩陣。根據投影矩陣的公式，能夠用向量a = (t, t)表示直線，從而求得投影矩陣：

　　

　　在使用標準座標基的時候，座標值等於向量自己：

　　能夠看到，若是選擇的基向量不一樣，即便對於一樣的線性變換，背後的矩陣也不一樣。在使用標準座標基的時候，感受不到座標的存在，此時矩陣乘以輸入向量等於輸出向量。實際上第一次是以投影矩陣的特徵向量爲基，獲得的矩陣A是投影矩陣P的特徵值矩陣。

如何肯定矩陣

　　肯定矩陣A的前提是須要知道輸入空間和輸出空間的基，咱們依然用v₁,v₂……v_n和w₁,w₂……w_m表示這兩組基。T(v₁)表示對輸入空間的第一個基向量v₁作線性變換，此時矩陣A乘以的座標是(1,0,…,0)，獲得的輸出座標是：

　　

　　當知道線性變換的結果時，就能夠經過它的座標肯定A的第一列。上式實際上描述了這樣線性變換：

求導也是一種線性變換

　　這裏有一個特殊的線性變換——求導，T = d/dx。咱們之因此可以對函數求導，正是由於求導自己是一種線性變換，所以只須要掌握少許的求導法則，就能求出函數線性組合的導數。

　　假設輸入空間的基是1, x, x²，線性組合是c₁ + c₂x + c₃x²；輸出是導數：

　　輸出空間的基是1, x。這是一個從三維空間到二維空間的線性變換：

　　描述這個線性變換的矩陣A知足：

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　　出處：微信公衆號 "我是8位的"

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