霍夫變換

前言

今天羣裏有人問到一個圖像的問題，但本質上是一個基本最小二乘問題，涉及到霍夫變換（Hough Transform），用到了就順便總結一下。

內容爲本身的學習記錄，其中多有參考他人，最後一併給出連接。

 

1、霍夫變換（Hough）

　　A-基本原理

一條直線可由兩個點A=(X₁,Y₁)和B=(X₂,Y₂)肯定(笛卡爾座標)

另外一方面，也能夠寫成關於（k,q）的函數表達式（霍夫空間）：

對應的變換能夠經過圖形直觀表示：

變換後的空間成爲霍夫空間。即：笛卡爾座標系中一條直線，對應霍夫空間的一個點。

反過來一樣成立（霍夫空間的一條直線，對應笛卡爾座標系的一個點）：

再來看看A、B兩個點，對應霍夫空間的情形：

一步步來，再看一下三個點共線的狀況：

能夠看出若是笛卡爾座標系的點共線，這些點在霍夫空間對應的直線交於一點：這也是必然，共線只有一種取值可能。

若是不止一條直線呢？再看看多個點的狀況（有兩條直線）：

其實（3，2）與（4，1）也能夠組成直線，只不過它有兩個點肯定，而圖中A、B兩點是由三條直線匯成，這也是霍夫變換的後處理的基本方式：選擇由儘量多直線匯成的點。

看看，霍夫空間：選擇由三條交匯直線肯定的點（中間圖），對應的笛卡爾座標系的直線（右圖）。

 到這裏問題彷佛解決了，已經完成了霍夫變換的求解，可是若是像下圖這種狀況呢？

k=∞是不方便表示的，並且q怎麼取值呢，這樣不是辦法。所以考慮將笛卡爾座標系換爲：極座標表示。

在極座標系下，實際上是同樣的：極座標的點→霍夫空間的直線，只不過霍夫空間再也不是[k,q]的參數，而是的參數，給出對比圖：

是否是就一目瞭然了？

給出霍夫變換的算法步驟：

對應code:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25

function  [ Hough, theta_range, rho_range ] = naiveHough(I) %NAIVEHOUGH Peforms the Hough transform in a straightforward way. % [rows, cols] =  size (I);   theta_maximum = 90; rho_maximum =  floor ( sqrt (rows^2 + cols^2)) - 1; theta_range = -theta_maximum:theta_maximum - 1; rho_range = -rho_maximum:rho_maximum;   Hough =  zeros ( length (rho_range),  length (theta_range)); for  row = 1:rows      for  col = 1:cols          if  I(row, col) > 0  %only find: pixel > 0              x = col - 1;              y = row - 1;              for  theta = theta_range                  rho =  round ((x *  cosd (theta)) + (y *  sind (theta)));   %approximate                  rho_index = rho + rho_maximum + 1;                  theta_index = theta + theta_maximum + 1;                  Hough(rho_index, theta_index) = Hough(rho_index, theta_index) + 1;              end          end      end end

　　其實本質上就是：

交點怎麼求解呢？細化成座標形式，取整後將交點對應的座標進行累加，最後找到數值最大的點就是求解的，也就求解出了直線。

 　　B-理論應用

 這裏給出MATLAB自帶的一個應用，主要是對一幅圖像進行直線檢驗，原圖像爲：

首先是對其進行邊緣檢測：

邊緣檢測後並二值化，就能夠經過找非零點的座標肯定數據點。從而對數據點進行霍夫變換。對應映射到霍夫空間的結果爲：

 

找出其中數值較大的一些點，一般能夠給定一個閾值，Threshold一下。

這就完成了霍夫變換的整個過程。這個時候求解出來了其實就是多條直線的斜率k以及截距q，一般會根據直線的特性進一步判斷，從而將直線變爲線段：

不過這一步更相似後處理，其實已經不是霍夫變換自己的特性了。

 給出對應的代碼：

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44

clc ; clear  all ; close  all ; I  =  imread ( 'circuit.tif' ); rotI = imrotate(I,40, 'crop' ); subplot  221 fig1 = imshow(rotI); BW = edge(rotI, 'canny' ); title ( '原圖像' ); subplot  222 imshow(BW); [H,theta,rho] = hough(BW); title ( '圖像邊緣檢測' ); subplot  223 imshow(imadjust(mat2gray(H)),[], 'XData' ,theta, 'YData' ,rho,...          'InitialMagnification' , 'fit' ); xlabel ( '\theta (degrees)' ),  ylabel ( '\rho' ); axis  on,  axis  normal,  hold  on; colormap (hot) P = houghpeaks(H,5, 'threshold' , ceil (0.7* max (H(:)))); x = theta(P(:,2)); y = rho(P(:,1)); plot (x,y, 's' , 'color' , 'black' ); lines = houghlines(BW,theta,rho,P, 'FillGap' ,5, 'MinLength' ,7); title ( 'Hough空間' ); subplot  224, imshow(rotI),  hold  on max_len = 0; for  k = 1: length (lines)     xy = [lines(k).point1; lines(k).point2];     plot (xy(:,1),xy(:,2), 'LineWidth' ,2, 'Color' , 'green' );       % Plot beginnings and ends of lines     plot (xy(1,1),xy(1,2), 'x' , 'LineWidth' ,2, 'Color' , 'yellow' );     plot (xy(2,1),xy(2,2), 'x' , 'LineWidth' ,2, 'Color' , 'red' );       % Determine the endpoints of the longest line segment     len =  norm (lines(k).point1 - lines(k).point2);     if  ( len > max_len)        max_len = len;        xy_long = xy;     end end   % highlight the longest line segment plot (xy_long(:,1),xy_long(:,2), 'LineWidth' ,2, 'Color' , 'red' ); title ( '直線檢測' );

 對比自帶的Hough與編寫的Hough:

 

效果仍是比較接近的。

看到Stackoverflow上的一個答案，以爲很好，收藏一下：

[2017-04-25 10:25:37]申請搜狐自媒體平臺