整數的分解方法

騰訊 2017春招真題

題目

以下示例：
1：共0種分解方法；
2：共0種分解方法；
3：3=2+1 共1種分解方法；
4：4=3+1=2+1+1 共2種分解方法；
5：5=4+1=3+2=3+1+1=2+2+1=2+1+1+1 共5種分解方法
6：6=5+1=4+2=4+1+1=3+2+1=3+1+1+1=2+2+1+1=2+1+1+1+1 共7種分解方法
以此類推，求一任意整數num有幾種分解方法？
輸入一個數字（1到90），輸出該整數的分解方法個數
如：
輸入：2——輸出：0
輸入：3——輸出：1
輸入：5——輸出：5

分析

爲保證輸出的惟一性，保持降序排列
列表分析3~7的分解狀況：

當前數	分解狀況以1結尾	分解狀況以2結尾	分解狀況以3結尾	分解狀況總數
3	① 2+1	---	---	1
4	① 3+1 ② 2+1+1 （②是將3進一步分解）	--- （2+2不算，分解出來的數不能都相等）	---	2
5	① 4+1 ② 2+2+1 ③ 3+1+1 ④ 2+1+1+1 （②--④是將4進一步分解，此時4=2+2也算）	① 3+2	---	5
6	① 5+1 ② 4+1+1 ③ 2+2+1+1 ④ 3+1+1+1 ⑤ 2+1+1+1+1 ⑥ 3+2+1 （②--⑥是將5進一步分解）	① 4+2	--- （3+3不算）	7
7	① 6+1 ② 3+3+1 ③ 5+1+1 ④ 4+1+1+1 ⑤ 2+2+1+1+1 ⑥ 3+1+1+1+1 ⑦ 2+1+1+1+1+1 ⑧ 3+2+1+1 ⑨ 4+2+1 （②--⑨是將5進一步分解）	① 5+2 ② 3+2+2 （②是將5進一步分解，且只取5的分解狀況中結尾數>=2的，才能保證降序排列）	① 4+3	12

總結分解方法：

• 對於數num，按照分解狀況的結尾數字考慮：以1結尾，以2結尾，...，以Math.floor((num - 1) / 2)結尾，每種結尾都先進行一次分解（以7爲例，以1結尾時分解成6+1，以2結尾分解成5+2，以3結尾分解成4+3）
• 對於第一次分解出的兩個數（num1，num2），進一步分解num1，且只在num1 > 2*num2 時分解num1（不然沒法保證降序，例：5=3+2，3繼續分解出2+1，則5=2+1+2不是降序）
• 若num1是偶數，計算分解狀況時+1（例：5=4+1，進一步分解4時，要考慮4=2+2）
• 保證num1進一步分解的結尾的數>=num2（例：7=5+2，進一步分解5時，只能將5分解成3+2，若分解成任意以1結尾的狀況，如4+1，則7=4+1+2不是降序）
  
  
  所以，咱們運用動態規劃的方法，從3開始往大數分析，構造二維數組，橫座標表示當前分析的數，縱座標表示當前分解狀況結尾的數

解答

解法1：（我）

import java.util.*;
public class Main {
    public static void main(String[] args) {
        Scanner sc = new Scanner(System.in);
        while (sc.hasNext()){
            int num = sc.nextInt();
            int result = 0;

            int[][] arr = new int[num+1][];
            for(int i = 3; i <= num; i++){
                int columnNum = (int)Math.floor((i-1)/2d);
                arr[i] = new int[columnNum];
                for(int j = 0; j < columnNum; j++){
                    arr[i][j] = 1;
                    int num2 = j + 1;
                    int num1 = i - num2;
                    if(num1 > 2 * num2){//只有這種狀況才分解
                        if(num1 % 2 == 0){//num1是偶數，計算分解狀況時+1
                            arr[i][j]++;
                        }
                        //計算數1的分解狀況
                        for (int k = j; k < arr[num1].length; k++){
                            arr[i][j] += arr[num1][k];
                        }

                    }
                }

            }
//            輸出整個二維數組的狀況
//            for(int i = 3; i <= num; i++){
//                for(int j = 0; j < arr[i].length;j++){
//                    System.out.println("arr["+i+"]["+j+"] is: "+arr[i][j]);
//                }
//            }
            if(num == 1 || num == 2) result = 0;
            else{
                for(int i = 0; i < arr[num].length;i++){
                    result += arr[num][i];
                }
            }
            System.out.println(result);
        }
    }
}