線性代數筆記30——類似矩陣和諾爾當型

時間 2019-12-09

原文原文鏈接

　　原文 | https://mp.weixin.qq.com/s/TDj3aCEHjaKHATZ7uviQMA微信

長方矩陣與正定矩陣

　　咱們以前一直在討論方陣，但大量的實際問題應用到了長方矩陣，好比在最小二乘中用到了A^TA。學習

　　若是A是一個m×n的長方矩陣，那麼A^TA是一個對稱矩陣，固然也是方陣，咱們感興趣的是A^TA的正定性。對於A^TA來講，咱們對它的特徵向量和行列式一無所知，須要根據x^T(A^TA)x > 0來判斷其正定性：spa

　　當且僅當Ax=0時，上式等於0，所以只須要看看何時Ax=0。3d

　　咱們在矩陣零空間中討論過，對於一個m×n的長方矩陣來講，若是是矩陣是列滿秩，m > n，那麼該矩陣的零空間只有零向量。所以，當A是列滿秩的矩陣時，僅當x=0時Ax=0，此時對於任意非零向量，必定有x^T(A^TA)x > 0，A是正定的。blog

類似矩陣

　　A和B都是n×n的方陣，若存在可逆矩陣M，使得B=M^-1AM，則稱A和B互爲類似矩陣，記做A~B。get

類似矩陣與特徵值

　　實際上咱們早就見過類似矩陣。若是A有n個線性無關的特徵向量，則A能夠對角化爲A=SΛS^-1，至關於S^-1AS=Λ，A和其特徵值矩陣Λ互爲類似矩陣，這裏的M=S，是特徵向量矩陣。實際上A的類似矩陣有不少，咱們能夠用任意可逆矩陣M代替S，從而求得其餘的類似矩陣，Λ是衆多類似矩陣中最簡潔的一個。二維碼

　　召喚一個矩陣：im

　　Λ和A互爲類似矩陣。若是取另外一組可逆矩陣，能夠獲得A的另外一個類似矩陣：d3

　　觀察B會發現，它的跡是4（特徵向量之和），行列式是3（特徵向量之積），這暗示咱們B的特徵向量和A相同。實際上這正是類似矩陣的特性：類似矩陣具備一樣的特徵值。實際上全部特徵是是3和1的二階矩陣都是A的類似矩陣。qq

　　爲何類似矩陣會出現相同的特徵值呢？如今設A和B互爲類似矩陣，B=M^-1AM，根據特徵方程：

　　如今出現了新的特徵方程，B的特徵向量是M^-1x，特徵值是λ，和A的特徵值一致。固然，別期望特徵向量也相同，若是特徵向量也相同，就變成了徹底相等的同一個矩陣。

類似矩陣的性質

對於B=M^-1AM

　　設A，B和C是任意同階方陣，則有：

　　（1）反身性：A~A

　　（2）對稱性：若A~B，則B~A

　　（3）傳遞性：若A~B，B~C，則A~C

　　（4）若A~B，則兩者的特徵值相同、行列式相同、秩相同、跡相同。

　　（5）若A~B，且A可逆，則B也可逆，A^-1~B^-1。

特徵值相等的狀況

　　當A的全部特徵值互不相同時，A必然存在n個線性無關的特徵向量，此時A可以對角化；若是存在徹底相等的特徵值，是否可以對角化就很差說了，須要另行判斷，咱們對這類矩陣的類似矩陣一樣感興趣。

　　上面的對角矩陣有兩個相同的特徵值：λ₁=λ₂=4，若是A有類似矩陣，咱們看看這個類似矩陣是什麼：

　　此時A的類似矩陣是A自己，相似A這種特徵值重複的對角矩陣，它們只和本身類似。

　　另外一種特徵值相同的矩陣則可能有不少類似矩陣，兩個特徵值都是4的這類矩陣中最簡潔的是：

　　這個矩陣沒法對角化，若是它能對角化，那麼：

　　這顯然是不成立的。相似A的矩陣雖然有徹底相同的特徵向量，但沒法對角化，好比把右上角的元素1改爲其餘值。其中A是這類矩陣中最簡單的一個，稱爲諾爾當標準型。

諾爾當標準型

　　諾爾當指出，對於特徵值徹底相同的方陣A，就算不能對角化，也必定可以經過變換獲得與對角矩陣很接近的諾爾當標準型。具體來講，對於方陣A，必定有一樣規模的可逆矩陣P，使得P^-1AP=J，J是諾爾當標準型。

　　諾爾當標準型究竟是個啥？舉個例子：

　　上面的矩陣就是諾爾當標準型，其中空白區域的元素全是0，每個紅色方塊是一個諾爾當塊。每一個諾爾當塊都要知足兩個性質：主對角線元素徹底相同（特徵值徹底相同），主對角線上方的次對角線元素全爲1（若是有次對角線的話）。上面的矩陣是5個諾爾當塊構成的，其中[4]比較特別，它只有主對角線，沒有次對角線，是大小爲1的諾爾當塊。

　　若爾當標準型是由若干個若爾當塊按對角排列組成的準對角矩陣。

　　有時候，諾爾當標準型不是那麼容易辨別。來看幾個諾爾當標準型：

　　J₁和J₂比較容易：

　　J₃不是諾爾當標準型，它的次對角線是1，主對角線元素不全相等。

　　J₄也是諾爾當標準型，包含了三個大小爲1的諾爾當塊。