線性代數筆記24——微分方程和exp(At)

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　　微分方程指含有未知函數及其導數的關係式，解微分方程就是找出未知函數。未知函數是一元函數的，叫常微分方程；未知函數是多元函數的，叫作偏微分方程。常微分方程有時也簡稱方程。微分方程是一門複雜的學科，對於常微分方程來講，可使用特徵值和特徵向量的知識求解。

 　

　　相關前置知識：

　　　　微分方程：單變量微積分11——常微分方程和分離變量

　　　　泰勒公式：單變量微積分30——冪級數和泰勒級數 

　　　　泰勒公式在0點展開的緣由：多項式函數可以擬合非線性問題原理

　　　　求逆矩陣：線性代數筆記8——求解逆矩陣

　　　　求行列式：線性代數20——行列式和代數餘子式

　　　　特徵值和特徵向量：線性代數22——特徵值和特徵向量

　　　   矩陣對角化：線性代數筆記23——矩陣的對角化和方冪

 

常微分方程的通常解法

　　根據概念構造一個常微分方程：

　　目標是求得原函數u=u(t)的具體形式。經過積分求解：

　　這就是最終答案的通解，C是任意常數。實際上這種解法就是利用了不定積分的知識：

　　

　　若是du/dt=u，可使用分離變量法的求解方式：

　　也就是說，當函數的導數是函數自己的時候，這個函數就是型如Ae^t的函數，因爲A=e^C是任意常數，因此常常用C代替A，寫成u=Ce^t的形式。

 

　　同理，對於du/dt=λu，微分方程的解是u(t)=Ce^λt。當t=0時：

　　因爲C是任意常數，所以能夠取C=u(0)，獲得u(t)= u(0)e^λt，這樣作能夠去掉常數C。在實際問題中，u能夠表示關於時間t的函數，對於時間來講，一般能夠把t=0看做初始條件。

常微分方程與矩陣

　　如今將常微分方程擴展爲常微分方程組，u₁=u₁(t)，u₂=u₂(t)，初始條件是t=0，初始值是u(0)=(1,0)，求解微分方程：

　　能夠把微分方程組寫成向量矩陣的形式：

　　至關於將常微分方程中轉換成了du/dt = Au的線性形式。

常微分方程的線性代數解法

　　對於du/dt = Au來講，u₁和u₂之間存在耦合（沒有耦合就不必寫成方程組了），A表示它們的耦合關係：

 

　　A能夠用特徵值和特徵向量對角化，所以方程的解和矩陣A的特徵值和特徵向量存在關聯關係。先求矩陣A的特徵值。

　　或許你能夠立刻看出A是個奇異矩陣，所以一個特徵值是λ₁=0。特徵值之和是矩陣的跡，跡是矩陣主對角線元素和，所以能夠求得另外一個特徵值是λ₂=(-1-2)-0=-3。

　　固然也能夠用正統的方法求解：

　　接下來根據特徵方程求得特徵向量。

特解

　　微分方程組有兩組特解：

　　這是兩個純指數解的組合。須要注意的是，這裏x₁和x₂都是二維向量，所以v₁和v₂也是二維的。

　　來驗證一下v₁，若是u=v₁是方程的解，把v₁代入原方程：

　　只要驗證①=②是否成立就能夠了，假設等式成立：

　　x₁和λ₁是Ax=λx的一組特徵向量和特徵值，所以①=②成立，v₁是微分方程的解。同理，v₂也是微分方程的解。

通解

　　對於du/dt = Au來講，若是v₁和v₂是方程的解，那麼它們的線性組合也是方程的解，所以微分方程的通解是：

　　驗證的方法和驗證特解相似：

　　只要驗證③=④是否成立就能夠了，假設等式成立：

　　x₁和λ₁是Ax=λx的一組特徵向量和特徵值，所以⑤成立。同理，⑥也成立，所以通解成立。

　　最後將λ和x的值代入通解：

　　若是沒有初始條件，到這裏就結束了，這就是u(t)的形態。本例給出了初始值，能夠由此繼續計算出C₁和C₂：

　　當t→∞時：

　　隨着t的增長，u(t)逐漸收斂到一個定值，咱們稱u(t)爲穩態。

　　通解指出了當A是2×2矩陣時u(t)達到穩態的條件：A的其中一個特徵值是0，且另外一個特徵值小於0（若是是複數，則複數的實部小於0）。若是λ₁=0, λ₂>0，u(t)是發散的。

解耦

　　回顧上一節的內容，在經過初始值求解C的時候：

　　若是用S表示特徵向量矩陣，則上式能夠寫成Sc=u(0)，即經過Sc=u(0)能夠求得c。

　　常微分方程組du/dt = Au，u=(u₁, u₂)，u₁, u₂是兩個互相耦合的未知函數，A代表了它們的耦合關係，求解微分方程組的關鍵是如何解耦，而解耦的方式正是利用特徵值和特徵向量。如今的問題是，可否把微分方程的解表示成S和Λ的形式（Λ是特徵值矩陣，參考上一章內容）？

　　既然u是經過A耦合的，A又能經過S和Λ對角化（A=SΛS^-1），所以u能夠用特徵向量矩陣S解耦，令u=Sv，v(t)是某個未知的常微分方程組：

　　S是常矩陣，所以：

　　根據上一章矩陣對角化的內容：

　　這其實是獲得了沒有耦合的新方程組：

　　每一個方程均可以套用一開始講過的內容：du/dt=λu，微分方程的解是u(t)=Ce^λt，再代入初始條件t=0，u(t)=u(0)e^λt：

　　將兩者合併：

　　v(0)的具體值咱們不知道也不關心，只知道是個常向量，Sc=u(0)，c是任意常向量，設c=v(0)：

　　更進一步：

　　接下來解釋爲何會獲得這個結論。

矩陣指數exp(At)

　　A是矩陣，e^At是以矩陣爲指數的表達式，它表明什麼意思呢？

　　咱們知道f(x)在x=0點處的泰勒展開式：

　　e^x在x₀=0點處的泰勒展開式是：

　　0的階乘是1。展開式是收斂的，越靠後的項對整體的影響越小，越接近於0。證實起來較爲容易：

　　所以e^x是收斂的。

　　一樣，e^At也在At=O點處進行泰勒展開，注意這裏的O是A的同階零矩陣，e^O等於單位矩陣：

　　e^At也是收斂的。

　　上一章已經講過矩陣的對角化：

　　代入到e^At中：

　　中間的一大堆正好是e^∧t的泰勒展開式，所以e^At最終能夠寫成：

　　這就是矩陣指數的公式，固然，上式成立的前提是A能夠對角化，即A_n×n存在n個獨立的特徵向量。

　　最後再來看看e^∧t是什麼。

　　和通解的形式一致，若是有初始值，能夠根據初始值計算出具體的C。

二階常微分方程

　　如今有一個二階常微分方程：

　　求解時須要把方程轉換成矩陣的形式：

　　這就又變成了du/dt=Au的形式，能夠用矩陣直接求解。

綜合示例

　　求解三階常微分方程並構建e^At：

　　接下來須要求得A的特徵值和特徵矩陣。根據特徵方程可獲得：

　　接下來經過3個特徵值求的特徵向量：

　　第1個特徵向量的特解是：

　　相似的方式求得另外兩個特徵向量：

　　u(t)的通解：

　　最後來構建e^At：

　　

　　

　相關前置知識：

　　　　微分方程：單變量微積分11——常微分方程和分離變量

　　　　泰勒公式：單變量微積分30——冪級數和泰勒級數 

　　　　泰勒公式在0點展開的緣由：多項式函數可以擬合非線性問題原理

　　　　求逆矩陣：線性代數筆記8——求解逆矩陣

　　　　求行列式：線性代數20——行列式和代數餘子式

　　　　特徵值和特徵向量：線性代數22——特徵值和特徵向量

　　　   矩陣對角化：線性代數筆記23——矩陣的對角化和方冪

 

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　　做者：我是8位的

　　出處：http://www.cnblogs.com/bigmonkey

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