對權值線段樹剪枝的誤解--以HDU6703爲例

引子

對hdu6703，首先將問題轉化爲「詢問一個排列中大於等於k的值裏，下標超過r的最小權值是多少」
咱們採用官方題解中的作法：權值線段樹+剪枝
對(a[i],i)建線段樹，查詢權值線段樹的[k,n]中第一個下標超過r的值
代碼是這樣的

int ask(int l, int r, int root){
    int mid = (l+r)>>1;
    if(mx[root]<=R)return -1;
    if(l==r){return l;}
    int ans = -1;
    if(k<=mid)ans=ask(lson);
    if(ans==-1)ans=ask(rson);
    return ans;
}

這把辣雞的我給看meng了：在R=n的時候，最壞狀況下一直向左遞歸，而且沒找到而後向右遞歸，再向右遞歸的同時又重複沒找到，這個ask不就退化成O(n)的了嗎？

思考

通過半個月的思考（被虐），我大概懂了這個剪枝
首先分析如下幾個問題：

什麼狀況下才會遞歸下去？

由代碼第三行的

if(mx[root]<=R)return -1;

咱們能夠知道，只有當前權值區間\((l,r)\)的最大下標超過R才可能存在答案

什麼狀況下會往左遞歸而且不會從左邊的遞歸返回答案？

假設當前權值區間爲\([l,r]\)
若是往左邊遞歸沒有O(1)返回的話，根據上面的結論，那麼必定是由於左區間\([l,mid]\)存在一個下標大於R
可是，左區間中合法區間應該爲\([max(k,l),mid]\)
因此當\(k>l\)，且答案均分佈在\([l,k]\)時，纔會向左遞歸而且不從左區間返回答案

何時「錯誤的左區間遞歸」會結束？

假設最壞狀況，答案在k-1裏，k-1一直在作區間的遞歸中，只有遞歸到當l=k的時候，纔會結束這個錯誤
由線段樹的相關性質只能夠知道，這個最壞狀況能夠到\(l=r=k\)，也就是跑了一個\(O(logn)\)的鏈

深刻思考

思考完以上幾個問題，繼續思考：

當走完這條錯誤鏈，回溯的時候，會回溯到哪裏？

固然是第一次出現這個錯誤分叉的地方(其實就是父節點)
可是此時咱們在左區間沒找到答案，會去右區間，而右區間\([mid+1,r]\)是徹底包含於合法區間\([k,n]\)中的，因此只會出現兩種狀況
1.右區間沒有合法答案，O(1)退出，繼續回溯
2.右區間有答案，最終答案必在右區間中
一旦出現了2，就是正常的沒有限制\([k,n]\)的線段樹找最小值的O(logn)的作法了
而1也只是一個普通的回溯，按照父節點回溯到最原始的錯誤分叉，答案就在另外一條路中
這個問題就解決啦

結論

這個剪枝強無敵，最終詢問操做的執行次數只有兩條鏈
複雜度爲O(logn)