八位「Booth二位乘算法」乘法器
八位「Booth二位乘算法」乘法器
原理
補碼乘法器
以前介紹了幾篇無符號乘法器或加法器的寫法，固然，稍做修改也就能夠改爲符合有符號數的乘法器或加法器。算法
可是呢，咱們以前寫的乘法器或加法器，其實都是默認是正數來寫的，並且是以正數的原碼來寫的，因此上面說稍做修改也就能夠成爲有符號數的乘法器或加法器，其實就是對咱們覺得的原碼進行取補碼，再進行乘法或加法的運算。學習
隨着計算機硬件部件的升級，處理器技術的發展，現代處理器中的定點數(小數點位置固定)都是按照補碼形式來存儲的。測試
因此在以前寫的無符號加法器中，只要利用：設計
就能夠輕易將原先的加法器改寫成有符號加法器——只要對結果再取一次補碼便可。code
可是乘法器呢？稍做學習能夠知道，補碼的乘法是這樣的：three
咱們再考慮一下以前所說的：在現代處理器中的定點數都是按照補碼形式來存儲的。input
因此咱們要想獲得兩個數的乘法結果，首先應該知道被乘數的原碼和補碼，再對最終結果取補碼，便可獲得咱們指望的乘法結果。數學
那麼如何求「X*Y補」呢？在處理器中，一個二進制數Y補形如y7y6y5y4y3y2y1y0，也就是表示一個數的補碼，那麼它的原碼是多少呢？it
補碼的計算方法，除了「首位不變，餘位取反再加一」的方式，還有一種就是「用溢出條件來減這個數」，在咱們以前第一節課說二進制的時候，以鐘錶爲例——「十二進制」，獲得結論——「4是-8的補碼」。table
咱們用第二種取補碼的方式：-8的補碼=12-8=4（這裏沒有考慮符號問題，只是求了補碼的值）
因此考慮一下符號的話，-8的補碼=8-12=-4
同理：
十進制下，-4的補碼=4-10=-6
二進制下，-101補碼=1101補碼=101-1000=-011=1011
這樣解決求補碼的方式在接下來的計算方面就更方便了，至於正數嘛，不變就行了。
回到上面的問題，一個二進制數Y補形如y7y6y5y4y3y2y1y0，它的原碼是多少呢？根據：
Y補的原碼Y應該爲：
稍微化簡一下：
因此咱們若是想求X*Y，能夠先求其補碼：
根據補碼加法「X補+Y補=[X+Y]補」再稍微化簡一下：
再引入一個定理：
因此上式又能夠換一種寫法：
哦這不就是上面介紹過的補碼乘法嘛：
若是令一個數Y1補=y6y6y5y4y3y2y1y0，去掉了首位，那麼上式是否是能夠理解爲：
其中的Y1補不就恰好是Y補的後7位嘛？也就是說一個乘法能夠分爲兩部分理解：首位的乘法和其餘位的乘法。首位的乘法產生的部分積符號是減，其餘位的部分積符號爲加。
通過上面的推導你們應該會對補碼乘法的原理有了必定的概念，咱們來把它寫成豎式的形式，以(-6)x(-7)爲例，原碼乘應該是1110x1111，在計算機中是以補碼的形式存儲，因此補碼乘是1010x1001，代入公式，令X補=1010，Y補=1001，其運算過程以下：
這裏可能有一些迷惑的是：爲何第一步運算獲得的結果是11111010？爲何要在前面填充1111？
這也就是所謂的符號填充，咱們以前的設計中都沒有涉及到符號位，因此默認都是填充0，如今遇到了負數問題，也就須要填充符號了，可是這樣看起來是否是一點都以爲很奇怪？若是沒辦法理解的話，我建議你能夠嘗試對它求補碼，看看是否是能夠保持首位符號位不變，餘位取反加一。驚歎於設計師的機智。
補碼乘法器的原理講明白了，具體電路實現的話，你們能夠嘗試一下，本節重點不在於此。
Booth一位乘
在上面已經討論了補碼乘法器的原理，那麼什麼是Booth乘法器呢？Booth乘法器是由英國的Booth夫婦提出的，並無什麼特殊含義，因此咱們直接快進到內容。
通過補碼乘法器的推導：
參考中學數學：
其核心計算思想是括號裏的形式，也就是Y補的原碼Y，因此咱們對括號裏的內容再進行分解合併，也就是對Y分解合併。先分解：
這樣應該挺直觀了吧：
再合併：
最後有個0-y0的項，看起來有點不合羣，因此令：
代入上式，即：
這也就是Booth一位乘算法的原理。其優勢就在於不用再像補碼乘法器那樣，不須要專門對最後一次部分積採用補碼減法。
根據上式，還能夠列出Booth一位乘的規則：
| y(i-1) | y(i) | y(i-1) - y(i) | 操做 |
|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 | 加0 |
| 0 | 1 | -1 | 減X補 |
| 1 | 0 | 1 | 加X補 |
| 1 | 1 | 0 | 加0 |
再舉個例子來計算，仍以(-6)x(-7)爲例，補碼乘是1010x1001，列出豎式：
但是這裏爲何仍是有減法呢？和常規的補碼乘法器相比，簡直是老和尚抹洗頭膏，大可沒必要。甚至因爲每次判斷兩位數字，增大了電路的複雜度，那麼爲何booth乘法器如此好用呢？
其實booth一位乘算法並不經常使用，可是booth二位乘就不同了，經過增長必定的空間複雜度，將運算週期減爲一半！
Booth二位乘
仍是根據補碼乘法器，咱們將Y的表達式再進行變換——先分解：
再整合：
好了Booth二位乘算法也完事了，類比於Booth一位乘，咱們也能夠列出Booth二位乘的規則：
| y(i-1) | y(i) | y(i+1) | y(i-1) + y(i) - 2*y(i+1) | 操做 |
|---|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 | 0 | 加0 |
| 0 | 1 | 0 | 1 | 加X補 |
| 1 | 0 | 0 | 1 | 加X補 |
| 1 | 1 | 0 | 2 | 加2*X補，即X補<<1 |
| 0 | 0 | 1 | -2 | 減2*X補，即X補<<1 |
| 0 | 1 | 1 | -1 | 減X補 |
| 1 | 0 | 1 | -1 | 減X補 |
| 1 | 1 | 1 | 0 | 加0 |
再舉個例子來計算，仍以(-6)x(-7)爲例，補碼乘是1010x1001，列出豎式：
運算週期減半了！
好了，那Booth乘法器有沒有三位乘呢？能夠有，可是三位的時候就會出現加3*X補，2*X補能夠經過左移一位獲得，而3*X補就有點麻煩了，因此再也不介紹，至於四位乘、八位乘，想挑戰的同窗能夠挑戰一下。
設計思路
減法變加法
首先咱們來解決一個問題，如何把減法消除？咱們知道，減去一個數，等於加上這個數的相反數；減去一個數，也等於加上這個數的補碼。這個過程當中的減數也默認是正數，由於正數的補碼仍是正數，只有正數前面加一個符號再去補碼纔有用。那麼如上面豎式所寫，減去一個負補碼，就應該等於加上「這個負補碼的補碼的相反數」，好比上面的補碼乘法器豎式，就應該變換成以下形式：
再說明一下吧：減11010，就至關於加11010的補碼的相反數，即加10110的相反數，即00110。
因此booth一位乘算法的示例應該變成這樣：
booth二位乘算法的示例應該變成這樣：
vivado特性
考慮到上述減法變加法的操做後，容易總結出：減法變加法，其實就是對補碼的符號位取反，也就是對減數每一位取反後再加一。
再回讀一邊上述的理論部分，可能你會發現，在乘法運算中，只用到了補碼和「負補碼」兩種概念的數字。而在vivado中（至關於在處理器中），數字默認是以補碼形式存儲的，即輸入的乘數默認就是補碼形式，這樣只須要再求出「負補碼」便可。設X[3:0]表示一個乘數，默認是以補碼形式存儲，則其「負補碼」：
至於其原碼：
其實根本用不着。
有了以上知識儲備，咱們就能夠寫代碼啦~
設計文件
//因爲實力不夠，沒能設計成改一個數字變一個規模的程序
`define size 8
module mul_booth_signed(
input wire [`size - 1 : 0] mul1,mul2,
input clk,
input wire [2:0] clk_cnt,//運算節拍，至關於狀態機了，8位的話每次運算有4個拍
output wire [2*`size - 1 : 0] res
);
//因爲傳值默認就是補碼，因此只須要再計算「負補碼」便可
wire [`size - 1 : 0] bmul1,bmul2;
assign bmul1 = (~mul1 + 1'b1) ;
assign bmul2 = (~mul2 + 1'b1) ;//其實乘數2的負補碼也沒用到。
//其實能夠把狀態機的開始和結束狀態都寫出來，我懶得寫了，同窗們能夠嘗試一下啊~
parameter zeroone = 3'b00,
twothree = 3'b001,
fourfive = 3'b010,
sixseven = 3'b011;
//y(i-1),y(i),y(i+1)三個數的判斷寄存器，因爲有多種狀況，也能夠當作狀態機（也能夠改寫成狀態機形式，你們本身試試吧）
reg [2:0] temp;
//部分積
reg [2*`size-1 : 0] A;
//每一個節拍下把相應位置的數據傳給temp寄存器
always @ (posedge clk) begin
case(clk_cnt)
zeroone : temp <= {mul2[1:0],1'b0};
twothree : temp <= mul2[3:1];
fourfive : temp <= mul2[5:3];
sixseven : temp <= mul2[7:5];
default : temp <= 0;
endcase
end
always @(posedge clk) begin
if (clk_cnt == 3'b100) begin//若是節拍到4就讓部分積歸0，此時已經完成一次計算了
A <= 0;
end else case (temp)
3'b000,3'b111 : begin//這些是從高位到低位的判斷，別看反了噢
A <= A + 0;
end
3'b001,3'b010 : begin//加法操做使用補碼便可，倍數利用左移解決
A <= A + ({{8{mul1[`size-1]}},mul1} << 2*(clk_cnt-1));
end
3'b011 : begin
A <= A + ({{8{mul1[`size-1]}},mul1} << 2*(clk_cnt-1) + 1);
end
3'b100: begin//減法操做利用「負補碼」改爲加法操做，倍數利用左移解決
A <= A + ({{8{bmul1[`size-1]}},bmul1} << 2*(clk_cnt-1) + 1);
end
3'b101,3'b110 : begin
A <= A + ({{8{bmul1[`size-1]}},bmul1} << 2*(clk_cnt-1));
end
default: A <= 0;
endcase
end
//當節拍到4的時候寫入結果寄存器。
assign res = (clk_cnt == 3'b100) ? A : 0;
endmodule
這是一個八位Booth二位乘算法的乘法器，至於Booth一位和Booth四位的乘法器，你們各自嘗試就好。
此外在這個文件當中，我用到了clk_cnt這個寄存器，你們是否是覺得我會多用一個模塊用來產生clk_cnt的波形？
身爲一個懶人，我直接在測試文件裏寫了吼吼吼~
綜合電路
37個元件，36個IO口，318根線
測試文件
`timescale 1ns / 1ps
module mul_tb(
);
reg [7:0] mul1,mul2;
wire [15:0] res;
reg clk;
wire clk_en;
reg [2:0] clk_cnt;
initial begin
mul1 <= -8'd7;
mul2 <= -8'd3;
clk <= 0;
clk_cnt <= 3'b0;
end
always # 10 clk = ~clk;
//clk_cnt發生器，懶人版
always @(posedge clk) begin
clk_cnt <= clk_cnt + 1'b1;
if (clk_cnt == 3'b100)
clk_cnt <= 3'b00;
end
//每次運算結束後，讓乘數變化，以便產生不一樣的數據用以觀察
assign clk_en = (clk_cnt == 3'b100) ? 1'b1 : 1'b0;
always @ (posedge clk_en) begin
mul2 <= mul2 + 1'b1;
end
mul_booth_signed try(.mul1(mul1),.mul2(mul2),.res(res),.clk(clk),.clk_cnt(clk_cnt));
endmodule
仿真波形
將其改爲有符號十進制數形式顯示，能夠驗證電路設計正確。
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