乘法器——booth編碼

    博主最近在學習加法器、乘法器、IEEE的浮點數標準，做爲數字IC的基礎。當看到booth編碼的乘法器時，對booth編碼不是很理解，而後在網上找各類理解，終於豁然開朗。現將一個很好的解釋分享給你們，但願能對你們有所幫助。

    首先，看看這幾個公式：

    能夠證實的是，這三個公式是相等的，一個有符號的二進制數的補碼用公式1來表示，能夠等價地寫成公式2和公式3。

    布斯編碼能夠減小部分積的數目（即減小乘數中1的個數），用來計算有符號乘法，提升乘法運算的速度。

    

    如上圖所示爲二進制乘法的過程，也是符合咱們正常計算時的邏輯，咱們假設有一個8位乘數（Multiplier），它的二進制值爲0111_1110，它將產生6行非零的部分積，由於它有6個非零值（即1）。若是咱們利用公式2將這個二進制值改成1000_00-10，其中低四位中的-1表示負1，能夠證實兩個值是相等的。能夠這樣簡單理解，那就是如今原值得末尾加輔助位0，變爲0111_1110_0，而後利用低位減去高位，即獲得1000_00-10。這樣一變換能夠減小0的數目，從而減小加的次數，咱們只需相加兩個部分積，可是終的加法器必須也能執行減法。這種形式的變換稱爲booth encoding（即booth編碼），它保證了在每兩個連續位中最多隻有一個是1或-1。部分積數目的減小意味着相加次數的減小，從而加快了運算速度（並減小了面積）。從形式上來講，這一變換至關於把乘數變換成一個四進制形式。

    最常常使用的是改進的booth編碼。乘數按三位一組進行劃分，相互重疊一位。其實就是把公式1重寫爲公式3。每一組按下表編碼，並造成一個部分積。

    再考慮前面說起的8位二進制數0111_1110。從msb到lsb，能夠把它分爲三位一組首尾重疊的四組：01（1），11（1），11（1），10（0），末尾補了一個輔助位0。根據上表編碼獲得：10（2），00（0），00（0），-10（-2），或者表示爲1000_000-10，這與前面獲得結果是同樣的。這時，乘2就是移位。因此布斯算法僅涉及加法，減法和移位操做。

    這樣一來就很容易理解了。