單調隊列

定義和性質

一個隊列內部的元素具備單調性的一種數據結構，分爲單調遞增隊列和單調遞減隊列。
單調遞減隊列隊首元素爲區間最大值，隊尾元素爲最近的大於新元素的元素下標。
單調遞減序列維護區間最小值和最近的小於新元素的元素下標。

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模板

int l=1,r=0;
for(int i=1;i<=n;i++){
    while(r>=l&&a[q[r]]>a[i]) r--;
    q[++r]=i;
}

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常見用法

給定一個n個數的數列，從左至右輸出每一個長度爲m的區間內的最小數。

int l=1,r=0;
for(int i=1;i<=n;i++){
    while(r>=l&&a[q[r]]>=a[i]) r--;
    q[++r]=i;
    while(r>=l && q[l]<i-m+1)l++;
}

給定一個長度爲n的數列，每個點分別有 x,y 兩個值，找到最長的區間，知足區間中 max(x[i]) - min(y[i]) <= k

int l1=1,r1=0,l2=1,r2=0,now=1;
for(int i=1;i<=n;i++){
    while(r1>=l1&&a[q1[r1]]<a[i]) r1--;//單調不嚴格減 
    while(r2>=l2&&a[q2[r2]]>a[i]) r2--;//單調不嚴格增 
    q1[++r1]=i;
    q2[++r2]=i;
    while(r1>=l1&&r2>=l2&&a[q1[l1]]-a[q2[l2]]>k){
        if(q1[l1]<q2[l2]) now=q1[l1++]+1;//先移動座標小的 
        else  now=q2[l2++]+1;
    }
    ans=max(ans,i-now+1);
}

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例題

Feel Good https://cn.vjudge.net/contest/314716#problem/C

給定區間\((1,n)\)，定義\(f(a,b)\)爲區間和*區間最小值，求\(min(f(a,b))，1\le a \le n，1 \le b\le n\)

解法：
將問題轉化爲，求每一個元素做爲最小值時的最大區間，計算出每一個區間的貢獻，對答案求max

//用stl_stack的寫法，常數大不推薦
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <stack>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int maxn=1e5+5;
ll a[maxn],sum[maxn],p1[maxn],p2[maxn];
int main(){
    int n;
    cin>>n;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        scanf("%lld",&a[i]);
        sum[i]=a[i]+sum[i-1];
    }
    stack<ll>s;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        while(!s.empty()&&a[s.top()]>=a[i]) s.pop();
        if(s.empty()) p1[i]=1;
        else p1[i]=s.top()+1;
        s.push(i); 
    }
    while(!s.empty()) s.pop();
    for(int i=n;i>=1;i--){
        while(!s.empty()&&a[s.top()]>=a[i]) s.pop();
        if(s.empty()) p2[i]=n;
        else p2[i]=s.top()-1;
        s.push(i); 
    }
    ll ans=-1,tx=0,ty=0;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        ll temp=(sum[p2[i]]-sum[p1[i]-1])*a[i];
        if(temp>ans){
            ans=temp;
            tx=p1[i];ty=p2[i];
        }
    }
    printf("%lld\n%lld %lld",ans,tx,ty);
}

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Ascending Rating https://cn.vjudge.net/contest/314716#problem/D

給定區間(1,n)，定義f(i,j)爲區間(i,j)上的最大值，g(i,j)爲從左往右遍歷該區間上最大值的更新次數，求\(\Sigma f(i,i+m)和\Sigma g(i,i+m)，(1\le i，i+m \le n)\)

解法：
最大值同上能夠用座標遞增值遞減的單調隊列的隊首元素表示，而更新次數能夠用座標遞減值遞減的單調隊列的大小來表示，發現最大值也能夠用後者的來維護，所以只須要從右往左創建遞減的單調隊列便可

#include <iostream>
#include <cstdio>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int maxn=1e7+5;
ll a[maxn],q1[maxn],q2[maxn];
ll ans1[maxn],ans2[maxn];
int main(){
    ll T,n,m,k,p,q,r,mod;
    scanf("%lld",&T);
    while(T--){
        scanf("%lld%lld%lld%lld%lld%lld%lld",&n,&m,&k,&p,&q,&r,&mod);
        for(int i=1;i<=k;i++)
            scanf("%lld",&a[i]);
        for(int i=k+1;i<=n;i++)
            a[i]=(p*a[i-1]+q*i+r)%mod;
        ll res1=0,res2=0;
        ll l=n+1,r=n;
        for(int i=n;i>=1;i--){
            while(r>=l&&a[q2[l]]<=a[i]) l++;
            q2[--l]=i;
            while(r>=l&&q2[r]>i+m-1) r--;
            if(i<=n-m+1){
                res2+=(r-l+1)^i;
                res1+=a[q2[r]]^i;
            }
        }
        printf("%lld %lld\n",res1,res2);
    }
}

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OpenStreetMap https://cn.vjudge.net/contest/314716#problem/G

給定矩陣M[n][m],a,b，對於M中每一個a*b的子矩陣，求出子矩陣中的最小元素並求和

解法：
遍歷每一行，從左至右存儲每一個長度爲b的區間內的最小數，獲得新矩陣B[n][m-b+1]，遍歷B的每一列，一樣用單調遞增隊列就能夠維護獲得每一個子矩陣的最小值。

#include <iostream>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int maxn=3e3+5;
int h[maxn][maxn],g[maxn*maxn],q[maxn];
int a1[maxn][maxn];
int main(){
    int n,m,a,b,x,y,z;
    scanf("%d%d%d%d",&n,&m,&a,&b);
    scanf("%d%d%d%d",&g[0],&x,&y,&z);
    for(int i=1;i<=n*m-1;i++)
        g[i]=((ll)g[i-1]*(ll)x%z+(ll)y)%z;
    for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=1;j<=m;j++)
            h[i][j]=g[(i-1)*m+j-1];
    for(int i=1;i<=n;i++){//算出每一個橫區間的最小值矩陣 
        int l=1,r=0;
        for(int j=1;j<=m;j++){
            while(r>=l&&h[i][q[r]]>h[i][j]) r--;//不嚴格增(最小值)
            q[++r]=j;
            while(r>=l&&j-q[l]+1>b)l++;
            if(j>=b) a1[i][j]=h[i][q[l]];
        }
    }
    ll ans=0;
    for(int j=b;j<=m;j++){
        int l=1,r=0;
        for(int i=1;i<=n;i++){
            while(r>=l&&a1[q[r]][j]>a1[i][j]) r--;
            q[++r]=i;
            while(r>=l&&i-q[l]+1>a)l++;
            if(i>=a)
                ans+=a1[q[l]][j];
        }
    }
    printf("%lld\n",ans);
}

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Planting Trees https://ac.nowcoder.com/acm/contest/883/F

給定一個n*n的矩陣和每一個位置上的權值 ai,j ，求最大的子矩陣，知足子矩陣中最大值和最小值之差不超過m。

解法：
枚舉子矩陣的上邊與下邊O(N^2)，存儲區間內n條寬度爲1的矩陣的最小值和最大值，在下界遞增的時候最小值與最大值的維護是O(1)的，每條矩陣抽象成了一個點（有兩個值），此時能夠用單調隊列在O(N)內求出最大值最小值相差不超過m的最大區間。

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cmath>
using namespace std;
const int maxn=505;
int a[maxn][maxn];
int maxx[maxn],minn[maxn];
int q1[maxn],q2[maxn];
int main(){
    int T;
    scanf("%d",&T);
    while(T--){
        int n,m;
        scanf("%d%d",&n,&m);
        for(int i=1;i<=n;i++)
            for(int j=1;j<=n;j++)
                scanf("%d",&a[i][j]);
        int ans=0;
        for(int t=1;t<=n;t++){//枚舉上界
            for(int i=1;i<=n;i++)//初始化最大最小值 
                minn[i]=maxx[i]=a[t][i];
            for(int b=t;b<=n;b++){//枚舉下界
                if(b!=t){
                    for(int i=1;i<=n;i++){
                        minn[i]=min(minn[i],a[b][i]);
                        maxx[i]=max(maxx[i],a[b][i]);
                    }
                }           
                int l1=1,r1=0,l2=1,r2=0,now=1;
                for(int i=1;i<=n;i++){
                    while(r1>=l1 && maxx[q1[r1]]<maxx[i]) r1--;//不嚴格遞減(最大值) 
                    while(r2>=l2 && minn[q2[r2]]>minn[i]) r2--;//不嚴格遞增(最小值)
                    q1[++r1]=i;
                    q2[++r2]=i;
                    while(r1>=l1&&r2>=l2&&maxx[q1[l1]]-minn[q2[l2]]>m){
                        if(q1[l1]<q2[l2])now=q1[l1++]+1;
                        else now=q2[l2++]+1;
                    }
                    ans=max(ans,(i-now+1)*(b-t+1)); 
                }
            }
        }
        printf("%d\n",ans);
    }
}