組合數學學習小記

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1.第一類斯特林數：表示將$ n$ 個不一樣元素構成\(m\)個圓排列的數目。

遞推式：\(s(n,m)=s(n-1,m-1)+s(n-1,m)*(n-1)\)。

遞推式證實以下：

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咱們考慮第\(n\)個元素放的位置。

（1）前\(n-1\)個元素構成了\(m-1\)個圓排列，第\(n\)個元素獨自構成一個圓排列:\(s(n-1,m-1)\)

（2）前\(n-1\)個元素構成了\(m\)個圓排列，第\(n\)個元素插入到任意元素的左邊:\((n-1)*S(n-1,m)\)

綜上：\(s(n,m)=s(n-1,m-1)+s(n-1,m)*(n-1)\)。

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對於第一類斯特林數咱們有如下特色：

1.\(s(n,n-2)=2*C(n,3)+3*C(n,4)\)

2.\(s(n,n-1)=C(n,2)\)

3.\(\sum_{i=0}^{n}s(n,i)=n!\)

2.第二類斯特林數：表示將\(n\)個不一樣的元素拆分紅\(m\)個非空集合的方案數。

遞推式：\(S(n,m)=S(n-1,m-1)+m*S(n-1,m)\)。

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同理，咱們仍是考慮第\(n\)個元素的放置狀況。

（1）前\(n-1\)個元素構成了\(m-1\)個集合，那麼第\(n\)個元素單獨構成一個集合:\(S(n-1,m-1)\)。

（2）前\(n-1\)個元素已經構成了\(m\)個集合，將第\(n\)個元素插入到任意一個集合:\(m*S(n-1,m)\)。

綜上：\(S(n,m)=S(n-1,m-1)+S(n-1,m)*m\)。

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同時附上一個第二類斯特林數的容斥公式：\(S(n,m)=\frac{1}{m!}*\sum_{i=0}^{m}{(-1)^i*C(m,i)*(m-i)^n}\)。

第二類斯特林數的實際意義

（1）n個不一樣的球，放入m個有區別的盒子,不容許盒子爲空,方案數：\(m!*S(n,m)\)。

（2）n個不一樣的球，放入m個無區別的盒子,容許盒子爲空,方案數：\(\sum_{i=0}^{m}S(n,i)\)

PS:一個有趣的事實：\(\sum_{i=0}^{n}S(n,i)*s(i,m)=\sum_{i=0}^{n}s(n,i)*S(i,m)\)。

3.卡特蘭數

卡特蘭數的實際意義和證實方法過多，筆者再也不闡述，下面直接給出通項公式和遞推公式。

\(Cat_n=C(2*n,n)-C(2*n,n-1)=\frac{C(2*n,n)}{n+1}=Cat_{n-1}*\frac{4n-2}{n-1}\)。

常見意義：合法出棧方案數，二叉樹方案數......

4.圓排列：表示從\(n\)個元素中選\(m\)個在圓周上構成不一樣的圓的方案數

通項公式：\(\frac{n!}{(n-m)!*m}\)

5.錯位排列：\(n\)的相異的元素排成一排，第\(i\)個元素不在第\(i\)位上的方案數

通項公式：\(D_n=(n-1)*(D_{n-1}+D_{n-2})\)。

證實以下：

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咱們假設第\(n\)個數排在第\(k\)位上，其中\(k\in[1,n-1]\)。

（1）.當第\(k\)個數排在第\(n\)位時，除了第\(n\)個數和第\(k\)個數之外還有\(n-2\)個數，其方案數爲\(D_{n-2}\)。

（2）.當第\(k\)個數不排在第\(n\)位時，將第\(n\)位從新想成新的「第\(k_1\)位」，這時的包括第\(k\)個數在內的剩下\(n-1\)個數的每一種錯排，方案數爲\(D_{n-1}\)。

因爲，\(k\in[1,n-1]\)，因此\(D_n=(n-1)*(D_{n-1}+D_{n-2})\)。

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附上一個容斥的公式：\(D_n=n!*\sum_{i=2}^{n}{(-1)^i*\frac{1}{i!}}\)

6.隔板法

（1）.\(n\)個一樣的小球分紅\(m\)個不一樣的組別，每組不爲空，方案數爲：\(C(n-1,m-1)\)。

（2）.\(n\)個一樣的小球分紅\(m\)個不一樣的組別，每組能夠爲空，方案數爲：\(C(n+m-1,m-1)\)。

先寫到這了，之後有東西再補。。。。。