組合數學習筆記

基本都是抄的，只不過懶獲得時候再去找而已，因此特意本身寫一下，順便加深理解

https://blog.csdn.net/litble/article/details/75913032

 

從$m$個數裏取出$n$個數的方案數，記作$C_m ^n$，即爲組合數

通項公式

　　$$C_m ^n=\frac{m!}{n!*(m-n)!}$$

　　從$m$個數裏選出$n$個數，第一個位置有$m$種選法，第二個位置有$m-1$種選法……因此總共是$m*(m-1)*(m-2)...*(m-n+1)=\frac {m!}{(m-n)!}$

　　然而由於對順序沒有要求，因此假設取出了$n$個數，那麼第一個位置有$n$种放法，第二個位置有$n-1$种放法...還要除以一個$n!$

　　綜上所述就是$C_m ^n=\frac{m!}{n!*(m-n)!}$

組合數遞推公式

　　$$C_m ^n=C_{m-1}^{n-1}+C_{m-1}^{n}$$

　　從$m$個不一樣的數裏取$n$個，若是第$n$個數取的話就是在剩下的數裏取$n-1$個數，有$C_{m-1}^{n-1}$中取法，若是第$n$個數不取的話就是在剩下的數裏取$n$個數，有$C_{m-1}^{n}$種取法

性質1

　　$$C_m^n=C_m^{m-n}$$

　　從$m$個數裏選$n$個數留下的方案和從$m$個數裏選$m-n$個數丟掉的方案顯然是一一對應的

性質2

　　$$C_{m+r+1}^r=\sum _{i=0}^r C_{m+i}^i$$

　　首先，$C_m^0=C_{m+1}^0=1$（啥都不選的方案數確定是1）

　　$C_m^0+C_{m+1}^1+C_{m+2}^2+...+C_{m+r}^r$

　　$=C_{m+1}^0+C_{m+1}^1+C_{m+2}^2+...+C_{m+r}^r$

　　$=C_{m+2}^1+C_{m+2}^2+...+C_{m+r}^r（根據遞推公式）$

　　$=C_{m+3}^2+...+C_{m+r}^r$

　　$=C_{m+r+1}^r$

性質3

　　$$C_m^n*C_n^r=C_m^r*C_{m-r}^{n-r}$$

　　用通項公式

　　$C_m^n*C_n^r$

　　$=\frac{m!}{n!*(m-n)!}*\frac{n!}{r!*(n-r)!}$

　　$=\frac{m!}{r!*(m-r)!}*\frac{(m-r)!}{(m-n)!*(n-r)!}$

　　$=C_m^r*C_{m-r}^{n-r}$

性質4（二項式定理）

　　$$\sum_{i=0}^m C_m^i=2^m$$

　　顯然$C_m^i$表明一個$m$位二進制數有$i$個$0$的狀況下的數量，那麼這個和就是$m$位二進制數的數量了

　　而後推廣二項式定理$$\sum _{i=0}^m C_m^i*x^i=(x+1)^m$$

　　那麼這個怎麼證實嘞，咱們能夠考慮把$(x+1)^m$給變成$(x+1)*(x+1)...$的形式，而後考慮一下它展開後的多項式，好比說第$i$次方項，這$i$個$x$是從哪幾個括號裏取來的呢，很明顯方案數是$C_m^i$，因此$x^i$的係數就是$C_m^i$

　　而後繼續推$$\sum _{i=0}^m C_m^i*x^i*y^{m-i}=(x+y)^m$$

　　這個實際上和上面差很少的證實方法，變造成$(x+y)*(x+y)...$的形式，每個位置都選$x$或$y$，那麼$x^i*y^{m-i}$的$i$個$x$是哪裏來的呢，而後就如上

性質5

　　$$C_m^0-C_m^1+C_m^2-...\pm C_m^m=0$$

　　以上式子能夠寫成$\sum _{i=0}^m C_m^i*(-1)^i$

　　帶進性質4，$\sum _{i=0}^m C_m^i*(-1)^i*1^i=(-1+1)^m=0$

性質6

　　$$C_m^0+C_m^2+C_m^4+...=C_m^1+C_m^3+C_m^5+...=2^{n-1}$$

　　根據性質5，把全部$i$爲奇數的項移到右邊，可證$C_m^0+C_m^2+C_m^4+...=C_m^1+C_m^3+C_m^5+...$

　　而後又由於性質4的第一條，左右兩邊加起來等於$2^m$，因此兩邊都等於$2^{m-1}$

性質7

　$$C_{m+n}^r=C_m^0*C_n^r+C_m^1*C_n^{r-1}+...+C_m^r*C_n^0$$

　　很簡單，考慮一下選出的$r$個物品在前$m$個裏有多少個，在後$n$個數裏有多少個就行了

　　特別的$$C_{m+n}^n=C_m^0*C_n^0+C_m^1*C_n^1+...+C_m^n*C_n^n$$

　　根據性質1以及性質7第一條

　　$C_{m+n}^n=C_m^0*C_n^n+C_m^1*C_n^{n-1}+...+C_m^n*C_n^0$

　　$=C_{m+n}^n=C_m^0*C_n^0+C_m^1*C_n^1+...+C_m^n*C_n^n$

性質8

　　$$n*C_m^n=m*C_{m-1}^{n-1}$$

　　運用通項公式

　　$n*C_m^n$

　　$=n*\frac{m!}{n!*(m-n)!}$

　　$=\frac{m!}{(n-1)!*(m-n)!}$

　　$=m*\frac{(m-1)!}{(n-1)!*(m-n)!}$

　　$m*C_{m-1}^{n-1}$

性質9

　　$$\sum_{i=1}^m C_m^i*i=m*2^{m-1}$$

　　用通項公式

　　$\sum_{i=1}^m C_m^i*i$

　　$=\sum_{i=1}^m \frac{m!}{(i-1)!*(m-i)!}$

　　$=(\sum_{i=1}^m \frac{(m-1)!}{(i-1)!*(m-i)!})*m$

　　$=(\sum_{i=0}^{m-1} C_{m-1}^i)*m$

　　而後看性質4

　　$=m*2^{m-1}$

　　ps：實際上上面也能寫成$i=0$，由於$C_m^0*0=0$，對答案無影響

性質10

　　$$\sum_{i=1}^m C_m^i*i^2=m*(m+1)*2^{m-2}$$

　　用和上面差很少的方法獲得

　　$\sum_{i=1}^m C_m^i*i^2$

　　$=(\sum_{i=0}^{m-1} C_{m-1}^i*(i+1))*m$

　　$=(\sum_{i=0}^{m-1} C_{m-1}^i*i+\sum_{i=0}^{m-1} C_{m-1}^i)*m$

　　而後用性質9和性質4

　　$=(2^{m-2}*(m-1)+2^{m-1})*m$

　　而後又由於$2^{m-1}=2*2^{m-2}$

　　因此原式等於$=m*(m+1)*2^{m-2}$

性質11

　　$$\sum_{i=0}^m (C_m^i)^2=C_{2m}^m$$

　　棗樹……考慮有兩個$m$個數的集合，全部數都互不相同，從其中取$m$個數的方法是多少？是從$2m$個數裏取$m$個數的方案數$C_{2m}^m$，也是從第一個數列取$i$個數，第二個數列裏取$n-i$個數，而後根據乘法原理乘起來，又由於$C_m^i=C_m^{m-i}$，因此獲得上述等式

盧卡斯定理

　　

　　當$p$爲素數時

　　$$C_n^m\equiv C_{n/p}^{m/p}*C_{n\%p}^{m\%p}(mod\ p)$$

　　證實太長了，都夠我單獨水一篇博客的了->請移步這裏

總結

　　累死我了……看原文竟然發現一些錯……然而我並無CSDN的帳號甚至不能去評論orz……

　　聽說組合數的性質能夠用如下幾種方法去推

　　1.情景假設法

　　2.隔板法

　　3.通項公式法

　　4.遞歸公式法

　　然而我都不會