二次剩餘

二次剩餘

定義：

若\(x^2\equiv a(mod\ p)\ \ \ (a\in[1,p))\)有解，則稱\(a\)爲\(p\)的二次剩餘。不然稱\(a\)爲\(p\)的二次非剩餘。

勒讓德符號：

定義：

\((\frac{a}{p})=\begin{cases}1&(a是p二次剩餘)\\-1&(a是p的二次非剩餘)\end{cases}\)

定理1：

\(p\)有\(\frac{p-1}{2}\)個二次剩餘和\(\frac{p-1}{2}\)個二次非剩餘。

證：

\(\because u^2\equiv v^2(mod\ p)\)

\(\therefore p\mid(u+v)(u−v)\)。

\(\because p\nmid (u-v)\)

\(\therefore p\mid(u+v)\)

反之亦成立。所以共有\(\frac{p−1}{2}\)種不一樣的平方。且每個\(p\)的二次剩餘恰有兩個解。

定理2：

\((\frac{a}{p})\equiv a^\frac{p-1}{2}(mod\ p)\)

證：

\(\because a^{p-1}\equiv 1(mod\ p)\)

\(\therefore a^\frac{p-1}{2}\equiv\pm1(mod\ p)\)有且僅有一式成立

若\(a\)是\(p\)的二次剩餘，必定存在\(x_0^2\equiv a(mod\ p)\)。

\(\therefore x_0^{p-1}\equiv a^\frac{p-1}{2}(mod\ p)\)

\(\because x_0^{p-1}\equiv 1(mod\ p)\)

\(\therefore a^\frac{p-1}{2}\equiv 1(mod\ p)\)

反之亦成立，即\((\frac ap)=1\Leftrightarrow a^\frac{p-1}{2}\equiv 1(mod\ p)\)

\(\therefore (\frac ap)=-1\Leftrightarrow a^\frac{p-1}{2}\equiv -1(mod\ p)\)

Cipolla算法

假如咱們要解\(x^2\equiv n(mod\ p)\)

先\(rand\)一個\(a\)，使得\((\frac{a^2-n}{p})=-1\)即\((a^2-n)^\frac{p-1}{2}\equiv-1(mod\ p)\)，指望\(rand\)次數爲\(2\)。

而後咱們定義\(w=\sqrt{a^2-n}\)爲虛數單位\((\)相似於\(i=\sqrt{-1})\)，而後咱們能夠獲得一個全新的域，這個數域中全部的數均可以表示爲\(a+bw\)。

而後咱們再來證幾個東西。

定理3：

\(w^p\equiv-w(mod\ p)\)

證：

\(w^p\equiv w*w^{p-1}\equiv w*(w^2)^\frac{p-1}{2}\equiv w*(a^2-n)^\frac{p-1}{2}\equiv-w(mod\ p)\)

定理4：

\((a+b)^p\equiv a^p+b^p(mod\ p)\)

證：

\((a+b)^p\equiv a^p+b^p+\sum\limits_{i=1}^{p-1}C_p^ia^ib^{p-i}\equiv a^p+b^p(mod\ p)\)

拉格朗日定理：

若\(f(x)\equiv\sum\limits_{i=0}^na_ix^i(mod\ p)\)，則\(f(x)\equiv 0(mod\ p)\)在模\(p\)意義下最多有\(n\)個不一樣解。

而後咱們定義這個域有什麼用呢？

\(x\equiv(a+w)^\frac{p+1}{2}(mod\ p)\)

證：

\(x^2\equiv(a+w)^{p+1}\equiv(a+w)^p(a+w)\equiv(a^p+w^p)(a+w)\equiv(a-w)(a+w)\equiv a^2-w^2\equiv n(mod\ p)\)

而後根據拉格朗日定理，這個結果必定是整數。

解決。

Gauss二次互反律

\(p,q\)爲不相等的奇素數，\((\frac{p}{q})(\frac{q}{p})=(-1)^\frac{(p-1)(q-1)}{4}\)。