Timus 1132 Square Root(二次剩餘）

http://acm.timus.ru/problem.aspx?space=1&num=1132

 

題意：

求 x^2 ≡ n mod p  p是質數 的 解

本題中n>=1

 

特判p=2，接下來求當p是奇素數時的解

引理1：

 

引理2：方程有解當且僅當

 

 

定理：

設a知足 不是模p的二次剩餘，

即無解，

那麼是二次剩餘方程的解

 

 

 

 

#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<algorithm>

using namespace std;

typedef long long LL;

int w;

struct T
{
    int p,d;
};

int mod(LL a,int p)
{
    a%=p;
    if(a<0) a+=p;
    return a;
}

int Pow(int a,int b,int p)
{
    int res=1;
    for(;b;a=1LL*a*a%p,b>>=1)
        if(b&1) res=1LL*res*a%p;
    return res;
}

//求勒讓德符號 
int Legendre(int a,int p)
{
    return Pow(a,p-1>>1,p);
}

//二次域上的乘法 
T mul(T a,T b,int p)
{
    T ans;
    ans.p=(1LL*a.p*b.p%p+1LL*a.d*b.d%p*w%p)%p;
    ans.d=(1LL*a.p*b.d%p+1LL*a.d*b.p%p)%p;
    return ans;
}

//二次域上的快速冪 
T power(T a,int b,int p)
{
    T ans;
    ans.p=1;
    ans.d=0;
    for(;b;a=mul(a,a,p),b>>=1)
        if(b&1) ans=mul(ans,a,p);
    return ans;
}

int solve(int n,int p)
{
    if(p==2) return 1;
    if(Legendre(n,p)+1==p) return -1;
    int a;
    LL t;
    while(1)
    {
        a=rand()%p;
        t=1LL*a*a-n;
        w=mod(t,p);
        if(Legendre(w,p)+1==p) break;
    }
    T tmp;
    tmp.p=a;
    tmp.d=1;
    T ans=power(tmp,p+1>>1,p);
    return ans.p;
}

int main()
{
    int t;
    scanf("%d",&t);
    int n,p;
    int a,b;
    while(t--)
    {
        scanf("%d%d",&n,&p);
        n%=p;
        a=solve(n,p);
        if(a==-1) 
        {
            puts("No root");
            continue;
        }
        b=p-a;
        if(a>b) swap(a,b);
        if(a==b) printf("%d\n",a);
        else printf("%d %d\n",a,b);
    }
}