圖的應用——最短路徑

這是我參與8月更文挑戰的第13天，活動詳情查看：8月更文挑戰

最短路徑

• 典型用途：交通問題。如：城市A到城市B有多條線路，但每條線路的交通費（或所需時間）不一樣，那麼，如何選擇一條線路，使總費用（或總時間）最少？
• 問題抽象：在帶權有向圖中A點（源點）到達B點（終點）的多條路徑中，尋找一條各邊權值之和最小的路徑，即最短路徑。

最短路徑與最小生成樹不一樣，路徑上不必定包含n個頂點

兩種常見最短路徑問題

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Dijkstra（迪傑斯特拉）算法 —— 單源最短路徑

算法思想

把圖中頂點集合分紅兩組：

第一組爲已求出其最短路徑的頂點集合S 第二組爲還沒有肯定最短路徑的頂點集合U

1. 初始時，S只包含源點，S={v}，U包含除v外的其餘頂點；
2. 從U中選取一個距離最小的頂點k，把k加入到S中；
3. 以k做爲新考慮的中間點，修改U中各頂點的距離；
4. 重複步驟 二、3 直到全部頂點都包含在S中

算法實現

算法流程圖 C++代碼實現

void ShortestPath_DIJ(AMGraph G, int v0){
	// 用Dijkstra算法求有向網G的v0頂點到其他頂點的最短路徑 
	n = G.vexnum;  // G 中頂點個數
	for(v = 0; v < n; v++){
		// n 個頂點依次初始化
		S[v] = false;  // S 初始爲空集
		D[v] = G.arcs[v0][v];  // 將v0到各個終點的最短路徑長度初始化 
		if(D[v] < MaxInt) Path[v] = v0;  // v0和v之間有弧，將v的前驅置爲v0
		else Path[v] = -1;  // 若是v0和v之間無弧，則將v的前驅置爲-1
	}
	S[v0] = true;  // 將v0加入S
	D[v0] = 0;  // 源點到源點的距離爲0

	/*―開始主循環，每次求得v0到某個頂點v的最短路徑，將v加到S集―*/
	for(i = 1; i < n; i++){
		// 對其他n-1個頂點，依次進行計算
		min = MaxInt;
		for(w = 0; w < n; w++)
			if(!S[w] && (D[w] < min)){
				v = w;
				min = D[w];  // 選擇一條當前的最短路徑，終點爲v
			}
		S[v] = true;  // 將v加入S
		for(w = 0; w < n; w++)  // 更新從v0出發到集合V−S上全部頂點的最短路徑長度
			if(!S[w] && ((D[v] + G.arcs[v][w]) < D[w])){
				D[w] = D[v] + G.arcs[v][w];  // 更新D[w]
				Path[w] = v;  // 更新w的前驅爲v
			}
	}
}
複製代碼

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Floyd（弗洛伊德）算法 —— 全部頂點間的最短路徑

每一對頂點之間的最短路徑

方法一：每次以一個頂點爲源點，重複執行Dijkstra算法n次—— T(n)=O(n³) 方法二：弗洛伊德(Floyd)算法 算法思想：逐個頂點試探法

算法思想

• 初始時設置一個n階方陣，令其對角線元素爲0，若存在弧<Vi,Vj>，則對應元素爲權值；不然爲∞
• 逐步試着在原直接路徑中增長中間頂點，若加入中間點後路徑變短，則修改之；不然，維持原值。
• 全部頂點試探完畢，算法結結束

算法實現

typedef int Pathmatirx[MAXVEX][MAXVEX]
typedef int ShortPathTable[MAXVEX][MAXVEX]

/*- Floyd算法，求網圖G中各頂點v到其他頂點w最短路徑P[v][w]及帶權長度D[v][w] -*/
void ShrotestPath_Floyd(MGraph G, Pathmatirx* P, ShortPathTable* D){
	int v, w, k;
	for(v = 0; v < G.numVertexes; ++v){
		// 初始化D與P
		for(w = 0; w < G.numVertexes; ++w){
			(*D)[v][w] = G.matirx[v][w];  // D[v][w]值即爲對應點間的權值
			(*P)[v][w] = w;  // 初始化P

		}
	}

	for(k = 0; k < G.numVertexes; ++k)
		for(v = 0; v < G.numVertexes; ++v)
			for(w = 0; w < G.numVertexes; ++w)
				if((*D)[v][w] > (*D)[v][k] + (*D)[k][w]){
					// 若是通過下標爲k頂點路徑比原兩點間路徑更短
					// 將當前兩點間權值設爲更小的一個
					(*D)[v][w] = (*D)[v][k] + (*D)[k][w];
					(*P)[v][w] = (*P)[v][k];  // 路徑設置爲通過下標爲k的頂點
				}
}
複製代碼