歸併排序（Merge Sort）

一、定義

    歸併排序(Merge Sort)是利用"歸併"技術來進行排序。歸併是指將若干個已排序的子文件合併成一個有序的文件。

二、兩路歸併算法

（1）、算法基本思路

    設兩個有序的子文件(至關於輸入堆)放在同一貫量中相鄰的位置上：R[low..m]，R[m+1..high]，先將它們合併到一個局部的暫存向量R1(至關於輸出堆)中，待合併完成後將R1複製回R[low..high]中。

（1）合併過程

    合併過程當中，設置i，j和p三個指針，其初值分別指向這三個記錄區的起始位置。合併時依次比較R[i]和R[j]的關鍵字，取關鍵字較小的記錄複製到R1[p]中，而後將被複制記錄的指針i或j加1，以及指向複製位置的指針p加1。

    重複這一過程直至兩個輸入的子文件有一個已所有複製完畢(不妨稱其爲空)，此時將另外一非空的子文件中剩餘記錄依次複製到R1中便可。

（2）動態申請R1

    實現時，R1是動態申請的，由於申請的空間可能很大，故須加入申請空間是否成功的處理。

（2）、歸併算法

  void Merge(SeqList R，int low，int m，int high)
    {//將兩個有序的子文件R[low..m)和R[m+1..high]歸併成一個有序的
     //子文件R[low..high]
     int i=low，j=m+1，p=0； //置初始值
     RecType *R1； //R1是局部向量，若p定義爲此類型指針速度更快
     R1=(ReeType *)malloc((high-low+1)*sizeof(RecType))；
     if(! R1) //申請空間失敗
       Error("Insufficient memory available!")；
     while(i<=m&&j<=high) //兩子文件非空時取其小者輸出到R1[p]上
       R1[p++]=(R[i].key<=R[j].key)?R[i++]：R[j++]；
     while(i<=m) //若第1個子文件非空，則複製剩餘記錄到R1中
       R1[p++]=R[i++]；
     while(j<=high) //若第2個子文件非空，則複製剩餘記錄到R1中
       R1[p++]=R[j++]；
     for(p=0，i=low；i<=high；p++，i++)
       R[i]=R1[p]；//歸併完成後將結果複製回R[low..high]
    } //Merge

 歸併排序有兩種實現方法：自底向上和自頂向下。

三、歸併排序

一、 自底向上的方法

（1） 自底向上的基本思想

    自底向上的基本思想是：第1趟歸併排序時，將待排序的文件R[1..n]看做是n個長度爲1的有序子文件，將這些子文件兩兩歸併，若n爲偶數，則獲得 個長度爲2的有序子文件；若n爲奇數，則最後一個子文件輪空(不參與歸併)。故本趟歸併完成後，前 個有序子文件長度爲2，但最後一個子文件長度仍爲1；第2趟歸併則是將第1趟歸併所獲得的 個有序的子文件兩兩歸併，如此反覆，直到最後獲得一個長度爲n的有序文件爲止。

    上述的每次歸併操做，均是將兩個有序的子文件合併成一個有序的子文件，故稱其爲"二路歸併排序"。相似地有k(k>2)路歸併排序。

（2） 一趟歸併算法

    分析：

    在某趟歸併中，設各子文件長度爲length(最後一個子文件的長度可能小於length)，則歸併前R[1..n]中共有 個有序的子文件：R[1..length]，R[length+1..2length]，…， 。

    注意：

    調用歸併操做將相鄰的一對子文件進行歸併時，必須對子文件的個數多是奇數、以及最後一個子文件的長度小於length這兩種特殊狀況進行特殊處理：

    ① 若子文件個數爲奇數，則最後一個子文件無須和其它子文件歸併(即本趟輪空)；

    ② 若子文件個數爲偶數，則要注意最後一對子文件中後一子文件的區間上界是n。

    具體算法以下：

    void MergePass(SeqList R，int length)
     { //對R[1..n]作一趟歸併排序
      int i；
      for(i=1;i+2*length-1<=n;i=i+2*length)
      Merge(R，i，i+length-1，i+2*length-1)；
           //歸併長度爲length的兩個相鄰子文件
      if(i+length-1<n) //尚有兩個子文件，其中後一個長度小於length
         Merge(R，i，i+length-1，n)； //歸併最後兩個子文件
      //注意：若i≤n且i+length-1≥n時，則剩餘一個子文件輪空，無須歸併
     } //MergePass

（3）二路歸併排序算法

  void MergeSort(SeqList R)
   {//採用自底向上的方法，對R[1..n]進行二路歸併排序
     int length；
     for(1ength=1；length<n；length*=2) //作 趟歸併

        MergePass(R，length)； //有序段長度≥n時終止
   }

    注意：

    自底向上的歸併排序算法雖然效率較高，但可讀性較差。

二、自頂向下的方法

     採用分治法進行自頂向下的算法設計，形式更爲簡潔。

（1）分治法的三個步驟

    設歸併排序的當前區間是R[low..high]，分治法的三個步驟是：

    ①分解：將當前區間一分爲二，即求分裂點

    ②求解：遞歸地對兩個子區間R[low..mid]和R[mid+1..high]進行歸併排序；

    ③組合：將已排序的兩個子區間R[low..mid]和R[mid+1..high]歸併爲一個有序的區間R[low..high]。

    遞歸的終結條件：子區間長度爲1（一個記錄天然有序）。

（2）具體算法

    void MergeSortDC(SeqList R，int low，int high)
     {//用分治法對R[low..high]進行二路歸併排序
       int mid；
       if(low<high){//區間長度大於1
          mid=(low+high)/2； //分解
          MergeSortDC(R，low，mid); //遞歸地對R[low..mid]排序
          MergeSortDC(R，mid+1，high)； //遞歸地對R[mid+1..high]排序
          Merge(R，low，mid，high)； //組合，將兩個有序區歸併爲一個有序區
        }
     }//MergeSortDC

（3）算法MergeSortDC的執行過程

    算法MergeSortDC的執行過程以下圖所示的遞歸樹。

四、算法分析

（1）、穩定性

    歸併排序是一種穩定的排序。

（2）、存儲結構要求

    可用順序存儲結構。也易於在鏈表上實現。

（3）、時間複雜度

    對長度爲n的文件，需進行 趟二路歸併，每趟歸併的時間爲O(n)，故其時間複雜度不管是在最好狀況下仍是在最壞狀況下均是O(nlgn)。

（4）、空間複雜度

    須要一個輔助向量來暫存兩有序子文件歸併的結果，故其輔助空間複雜度爲O(n)，顯然它不是就地排序。

    注意：

    若用單鏈表作存儲結構，很容易給出就地的歸併排序。。