0/1揹包經典例題 入門動態規劃

  筆者參加美團在線筆試的時候，遇到了一道動態規劃的相關題目，很遺憾當時的筆者很是稚嫩，對算法簡直一竅不通，因而抱着求學的態度，打算入門動態規劃的時候，發現了這個經典的動態規劃（Dynamic Programming，DP）入門題--0/1揹包問題，看完大神們的解答思路，簡直頂禮膜拜，因而打算本身手動實現下，致敬大佬們。特此，摘記。

  所謂的0/1表示的就是裝入揹包的物品只有兩種狀態（裝入與不裝入）。   OK，廢話很少說，上題：

題目：

條件：
* 一個揹包，最大容量12Kg
* 5個物品，分別的重量爲1 , 3 , 2 , 6 , 2（單位都是Kg）,分別的價值爲2 , 5 , 3 , 10 , 4（這個單位任意）
問題：
* 求揹包最多能裝下多少價值的物品？

  OK，談下解題思路：

1. 確認子問題和狀態   01揹包問題須要求解的就是，爲了體積V的揹包中物體總價值最大化，N件物品中第i件應該放入揹包中嗎？（其中每一個物品最多隻能放一件）   爲此，咱們定義一個二維數組，其中每一個元素表明一個狀態，即前i個物體中若干個放入體積爲V揹包中最大價值。數組爲：f[N][V]，其中fij表示前i件中若干個物品放入體積爲j的揹包中的最大價值。
2. 初始狀態   初始狀態爲f[0][0−V]和f[0−N][0]都爲0，前者表示前0個物品（也就是空物品）不管裝入多大的包中總價值都爲0，後者表示體積爲0的揹包啥價值的物品都裝不進去。
3. 轉移函數

if (揹包體積j小於物品i的體積)
    f[i][j] = f[i-1][j] //揹包裝不下第i個物體，目前只能靠前i-1個物體裝包
else
    f[i][j] = max(f[i-1][j], f[i-1][j-Vi] + Wi)

  最後一句的意思就是根據「爲了體積V的揹包中物體總價值最大化，N件物品中第i件應該放入揹包中嗎？」轉化而來的。Vi表示第i件物體的體積，Wi表示第i件物品的價值。這樣f[i-1][j]表明的就是不將這件物品放入揹包，而f[i-1][j-Vi] + Wi則是表明將第i件放入揹包以後的總價值，比較二者的價值，得出最大的價值存入如今的揹包之中。

OK,上筆者本身擼的代碼：

package package_0_1;

/**
 * 0/1 揹包問題
 * @author xiao
 *
 */
public class Package01 { 
	// 揹包的最大重量
	public static int package_weight_max = 12;
	// 一共有幾種物品
	public static int Total_Item = 5;
	// 每種物品的價值
	public static int[] values= {0 , 2 , 5 , 3 , 10 , 4};
	// 每種物品的重量
	public static int[] Items_Weight = {0 , 1 , 3 , 2 , 6 , 2};
	/* 一個二維數組，用來表示從前i個物品裏
	 * 選出最合適的裝進載重量爲j揹包中，使
	 * 得揹包裏的價值最大。i∈Items j∈{0-package_weight_max}
	 * dp[i][j] 單位是 (價值)
	*/
	public static int dp[][] = new int[Total_Item+1][package_weight_max+1];
	
	/**
	 * 初始化dp二維數組
	 */
	public static void initialize_dp() {
		for(int[] i : dp) {
			for(int j :i) {
				j=0;
			}
		}
	}
	
	/**
	 * DP 計算遞推矩陣(求出每一個局部最優解，將其保存進二維數組，方便遞推)
	 */
	public static int DPMethod() {
		initialize_dp();
		
		// 構造二維數組
		for(int i = 1;i<=Total_Item;i++) {
			for(int j = 1;j<=package_weight_max;j++) {
				/* 若是揹包容量小於物品的重量，則不放入此物品，
				 * 將放入上一物品的最大價值做爲此次的最大價值
				 */
				if(j<Items_Weight[i]) {
					dp[i][j] = dp[i-1][j];
				}
				/* 若是揹包容量足夠放下這件物品，那麼就
				 * 比較不放入物品時的最大價值與放入此物
				 * 品時的最大價值誰大，將大的做爲此次的最大價值
				 */
				else {
					// GetMax(不放入物品的價值,此物品的價值+剩餘空間的最大價值)
					dp[i][j] = GetMax(dp[i-1][j],(dp[i-1][j-Items_Weight[i]]+values[i]));
				}
				System.out.print(dp[i][j]+" ");
			}
			System.out.println("");
		}
		// 至此求得解
		return dp[Total_Item][package_weight_max];
	}
	
	/**
	 * 求最大值
	 * @param i
	 * @param j
	 * @return
	 */
	private static int GetMax(int i, int j) {
		// TODO Auto-generated method stub
		if(i>j) {
			return i;
		}else {
			return j;
		}
	}

	public static void main(String[] args) {
		// TODO Auto-generated method stub
		System.out.println("計算矩陣以下: ");
		int result = DPMethod();
		System.out.println(String.format("12kg揹包最多能裝進價值爲 %d 的物品", result));
	}

}

OK，先記錄到這！