經典動態規劃--01揹包問題

揹包問題具體例子：假設現有容量10kg的揹包，另外有3個物品，分別爲a1，a2，a3。物品a1重量爲3kg，價值爲4；物品a2重量爲4kg，價值爲5；物品a3重量爲5kg，價值爲6。將哪些物品放入揹包可以使得揹包中的總價值最大？

首先想到的，通常是窮舉法，一個一個地試，對於數目小的例子適用，若是容量增大，物品增多，這種方法就無用武之地了。

　　其次，能夠先把價值最大的物體放入，這已是貪婪算法的雛形了。若是不添加某些特定條件，結果未必可行。

　　最後，就是動態規劃的思路了。先將原始問題通常化，欲求揹包可以得到的總價值，即欲求前i個物體放入容量爲m（kg）揹包的最大價值ci——使用一個數組來存儲最大價值，當m取10，i取3時，即原始問題了。而前i個物體放入容量爲m（kg）的揹包，又能夠轉化成前(i-1)個物體放入揹包的問題。下面使用數學表達式描述它們二者之間的具體關係。

　　表達式中各個符號的具體含義。

　　w[i] : 第i個物體的重量；

　　p[i] : 第i個物體的價值；

　　ci ： 前i個物體放入容量爲m的揹包的最大價值；

　　ci-1 ： 前i-1個物體放入容量爲m的揹包的最大價值；

　　ci-1] ： 前i-1個物體放入容量爲m-w[i]的揹包的最大價值；

　　由此可得：

　　　　　　ci=max{ci-1]+pi , ci-1}（下圖將給出更具體的解釋）

　　根據上式，對物體個數及揹包重量進行遞推，列出一個表格（見下表），表格來自（http://blog.csdn.net/fg2006/a...） ，當逐步推出表中每一個值的大小，那個最大價值就求出來了。推導過程當中，注意一點，最好逐行而非逐列開始推導，先從編號爲1的那一行，推出全部c1的值，再推編號爲2的那行c2的大小。這樣便於理解。

　　思路釐清後，開始編程序，Java代碼以下所示:

public class BackPack {
    public static void main(String[] args) {
        int m = 10;
        int n = 3;
        int w[] = {3, 4, 5};
        int p[] = {4, 5, 6};
        int c[][] = BackPack_Solution(m, n, w, p);
        for (int i = 1; i <=n; i++) {
            for (int j = 1; j <=m; j++) {
                System.out.print(c[i][j]+"\t");
                if(j==m){
                    System.out.println();
                }
            }
        }
        //printPack(c, w, m, n);

    }

 /**
     * @param m 表示揹包的最大容量
     * @param n 表示商品個數
     * @param w 表示商品重量數組
     * @param p 表示商品價值數組
     */
    public static int[][] BackPack_Solution(int m, int n, int[] w, int[] p) {
        //c[i][v]表示前i件物品恰放入一個重量爲m的揹包能夠得到的最大價值
        int c[][] = new int[n + 1][m + 1];
        for (int i = 0; i < n + 1; i++)
            c[i][0] = 0;
        for (int j = 0; j < m + 1; j++)
            c[0][j] = 0;

        for (int i = 1; i < n + 1; i++) {
            for (int j = 1; j < m + 1; j++) {
                //當物品爲i件重量爲j時，若是第i件的重量(w[i-1])小於重量j時，c[i][j]爲下列兩種狀況之一：
                //(1)物品i不放入揹包中，因此c[i][j]爲c[i-1][j]的值
                //(2)物品i放入揹包中，則揹包剩餘重量爲j-w[i-1],因此c[i][j]爲c[i-1][j-w[i-1]]的值加上當前物品i的價值
                if (w[i - 1] <= j) {
                    if (c[i - 1][j] < (c[i - 1][j - w[i - 1]] + p[i - 1]))
                        c[i][j] = c[i - 1][j - w[i - 1]] + p[i - 1];
                    else
                        c[i][j] = c[i - 1][j];
                } else
                    c[i][j] = c[i - 1][j];
            }
        }
        return c;
    }

運行結果爲：

0 0 4 4 4 4 4 4 4 4
0 0 4 5 5 5 9 9 9 9
0 0 4 5 6 6 9 10 11 11

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