【莫比烏斯反演】——蒟蒻的理解

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如下爲正文：

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　　序：最近被反演虐的不要不要的，遂決定寫一篇博文，防止之後本身翻車……

1.定義

　　莫比烏斯函數：$\mu(n)$

 

　　 咱們引入一個概念，狄利克雷卷積。即$（f*g）(n)=\sum_{d|n}f(d)*g(\frac n d)$。顯然，狄利克雷卷積是知足交換律的。同時其也知足結合律與分配率。

　　在引入一個概念，積性函數，即函數$f$對於互質的兩個數$i，j$知足$f(i*j)=f(i)*f(j)$。其中若是對於任意$i,j$知足$f(i*j)=f(i)*f(j)$，咱們稱其爲徹底積性函數。

　　再例舉一些函數的符號：歐拉函數$\phi$，約數個數函數$d$，約數和函數$\sigma$，單位函數$id(n)=n$，元函數$\varepsilon(n)$,當n爲1時，$\varepsilon(n)=1$，不然$\varepsilon(n)=0$，以及不變的函數$1(n)=1$。

　　這裏給出一個線性篩的板子：

　　

 1 const int N=1e7+1;
 2  
 3 int miu[N],prim[N/5],num,sum[N];
 4 bool vis[N];
 5  
 6 inline void init(){
 7     miu[1]=1;
 8     sum[1]=1;
 9     for(int i=2;i<N;i++){
10         if(!vis[i])
11             prim[++num]=i,miu[i]=-1;
12         for(int j=1;prim[j]*i<N;j++){
13             vis[i*prim[j]]=1;
14             if(i%prim[j]==0){
15                 miu[i*prim[j]]=0;
16                 break;
17             }
18             miu[i*prim[j]]=-miu[i];
19         }
20         sum[i]=sum[i-1]+miu[i];
21     }
22 }

 

 

 

2.莫比烏斯函數的性質

　　這一段是從目前作過的題總結的，之後沒準還得改（沒準寫的不夠……）

　　 莫比烏斯函數一個十分總要的性質，即$(\mu *1)(n)$當且僅當$n==1$時，爲1，不然爲0。

　　關於這個的證實用 二項式定理+惟一分解定理 是很好證實的，這裏就很少說了。

3.莫比烏斯反演

　　關於這塊，一來是式子太長，二來是百度已經寫得很全面了，因此蒟蒻就不獻醜了。

　　參考連接：百度百科。

　　我想，這裏比較重要的一個性質是：$F(n)=(f*1)(n)$，若$f$爲積性函數，則$F(n)$也是積性函數。

　　證實以下：

　　設$\gcd (n,p)==1$。

　　$F(n*p)=\sum_{i|n}\sum_{j|p}f(i*j)=\sum_{i|n}f(i)\sum_{j|p}f(j)=F(n)*F(p)$

　　證畢。

　　這個性質在咱們反演出一個形如$ans=\sum_{i=1}^{n}g(i)\sum_{d|i}f(d)$的式子時，若$f$爲積性函數，則咱們能夠將這個式子時間複雜度優化到至少$O(n)$。

　　例如：

　　$$F(n)=\sum_{i|n}\mu(i)*i*n$$

4.一些小證實：

　　身邊大佬們老是在思考一些小證實，因此我也補補emmmm

　　順便發一下網上的LaTeX(博客園真的是……)

(1)

　　，就是綠皮上辣個智障式子。換一下形式其實就是$\phi=(\mu*1)$。證實以下：

 

(2)

　　。emmmmm雖然很弱，仍是證一下吧：

 

emmmm，而後當且僅當$\frac{n}{t}==1$時，後面的$\sum_{d|\frac{n}{t}}\mu(d)$爲1，不然爲0。證畢。

話說其實（1）裏面那個式子由mobius反演就能證實emmmmmm

 

5.一些奇奇怪怪篩法

1）最小質因數篩法：

　　咱們在篩某個函數$F$的時候，每每其並非一個正常的積性函數，假設當前枚舉數字爲$i$，所用質數爲$p$，咱們通常會進行關於i與p的關係進行分類討論，而且會用到$i$將$p$除盡的後獲得的$j$，若一直除的話篩法就再也不是線性，爲了保證線性，咱們就要用到最小質因數。

　　假設$prime$爲$i$的最小質因數，顯然在一般的線篩中咱們知道若枚舉的質數$p$知足$p<prime$則會枚舉下一個質數，不然$break$，那麼咱們利用這一點，假設咱們已經獲得了$i$的最小質因數$prime$以及其次方項，當前枚舉質數爲$p$，那麼對於計算到的$i*p$，當$p<prime$時直接按照$(i，p）==1$的狀況討論，同時顯然能夠知道$i*p$的最小質因數要跟新爲$p$；當$p==prime$時，則按照$(i,p)==p$的狀況討論，因爲咱們已經記錄了$i$的最小質因數$prime$以及其次方，咱們能夠直接$O(1)$得出其對應的$j$，同時對於$i*p$的最小質因數次數加1。

　　這樣就維持了$O(n)$的線性篩。例子：BZOJ 3309 DZY love math

2）一類關於質數$p$成多項式的積性數論函數的篩法

　　連接。

 

6.關於作題

　　這個我也沒有什麼發言權，畢竟我太弱了……但仍是想總結一下本身的想法。

　　反演最重要的是$gcd(i,j)==1$等價爲$\sum_{d|t}\mu(d),t=gcd(i,j)$這一式子，在目前所遇到的題目中，關鍵都是如何將題目給出的內容轉化爲$gcd$，而且正確的化解，這個我也不怎麼會，只能多練習了。

7.總結

　　我的以爲一些基本證實會不會都不是很重要，畢竟也不可能考爲何$id=(\phi*1)$之類的，明白其過程，對思考有啓發就足以。

8.一些題目：

　　　BZOJ　YY的GCD

　　BZOJ 4176 Lucas的數論 　　BZOJ 3930 CQOI2015 選數 　　bzoj2693: jzptab 　　BZOJ 4174 tty的求助　　BZOj　3601：一我的的數論