js數據結構和算法（四）圖和圖算法

圖的定義

圖（Graph）是由頂點的有窮非空集合和頂點之間邊的集合組成，一般表示爲：G(V,E)，其中，G表示一個圖，V是圖G中頂點的集合，E是圖G中邊的集合。

有向圖

有向邊：若從頂點Vi到Vj的邊有方向，則稱這條邊爲有向邊，也成爲弧(Arc)，用有序偶<Vi,Vj>來表示，Vi稱爲弧尾，Vj稱爲弧頭。

無序圖

**
無向邊：**若頂點Vi到Vj之間的邊沒有方向，則稱這條邊爲無向邊(Edge)，用無序偶(Vi,Vj)來表示。

簡單圖

簡單圖：在圖結構中，若不存在頂點到其自身的邊，且同一條邊不重複出現，則稱這樣的圖爲簡單圖。

圖類

表示頂點

建立圖類的第一步就是要建立一個Vertex類來保存頂點和邊。這個類的做用和鏈表、二叉搜索樹的Node類同樣。Vertex類有兩個數據成員：一個用於標識頂點，另外一個代表是否被訪問過的布爾值。分別被命名爲label和wasVisited。

function Vertex(label){
    this.label = label;
}

咱們將全部頂點保存在數組中，在圖類裏，能夠經過他們在數組中的位置引用他們

表示邊

圖的實際信息都保存在「邊」上面，由於他們描述了圖的結構。二叉樹的一個父節點只能有兩個子節點，而圖的結構卻要靈活得多，一個頂點既能夠有一條邊，也能夠有多條邊和它相連。

咱們將表示圖的邊的方法成爲鄰接表或者鄰接表數組。它將存儲由頂點的相鄰頂點列表構成的數組

構建圖

定義以下一個Graph類：

function Graph(v){
    this.vertices = v;//vertices至高點
    this.edges = 0;
    this.adj = [];
    for(var i =0;I<this.vertices;++i){
        this.adj[i] = [];
        this.adj[i].push('');
    }
    this.addEdge = addEdge;
    this.toString = toString;
}

這個類會記錄一個圖表示了多少條邊，並使用一個長度與圖的頂點數來記錄頂點的數量。

function addEdge(){
    this.adj[v].push(w);
    this.adj[w].push(v);
    this.edges++;
}

這裏咱們使用for循環爲數組中的每一個元素添加一個子數組來存儲全部的相鄰頂點，並將全部元素初始化爲空字符串。

圖的遍歷

深度優先遍歷

深度優先遍歷(DepthFirstSearch)，也有稱爲深度優先搜索，簡稱爲DFS。

好比在一個房間內尋找一把鑰匙，不管從哪一間房間開始均可以，將房間內的牆角、牀頭櫃、牀上、牀下、衣櫃、電視櫃等挨個尋找，作到不放過任何一個死角，當全部的抽屜、儲藏櫃中所有都找遍後，接着再尋找下一個房間。

深度優先搜索：

深度優先搜索就是訪問一個沒有訪問過的頂點，將他標記爲已訪問，再遞歸地去訪問在初始頂點的鄰接表中其餘沒有訪問過的頂點

爲Graph類添加一個數組：

this.marked = [];//保存已訪問過的頂點
for(var i=0;i<this.vertices;++i){
    this.marked[i] = false;//初始化爲false
}

深度優先搜索函數：

function dfs(v){
    this.marked[v] = true;
    //if語句在這裏不是必須的
    if(this.adj[v] != undefined){
        print("Visited vertex: " + v );
        for each(var w in this.adj[v]){
            if(!this.marked[w]){
                this.dfs(w);
            }
        }
    }
}

廣度優先搜索

廣度優先搜索（BFS）屬於一種盲目搜尋法，目的是系統地展開並檢查圖中的全部節點，以找尋結果。換句話說，它並不考慮結果的可能位置，完全地搜索整張圖，直到找到結果爲止。

廣度優先搜索從第一個頂點開始，嘗試訪問儘量靠近它的頂點，以下圖所示：

其工做原理爲：

1. 首先查找與當前頂點相鄰的未訪問的頂點，將其添加到已訪問頂點列表及隊列中；
 2. 而後從圖中取出下一個頂點v，添加到已訪問的頂點列表
 3. 最後將全部與v相鄰的未訪問頂點添加到隊列中

下面是廣度優先搜索函數的定義：

function bfs(s){
    var queue = [];
    this.marked = true;
    queue.push(s);//添加到隊尾
    while(queue.length>0){
        var v = queue.shift();//從隊首移除
        if(v == undefined){
            print("Visited vertex: " + v);
        }
        for each(var w in this.adj[v]){
            if(!this.marked[w]){
                this.edgeTo[w] = v;
                this.marked[w] = true;
                queue.push(w);
            }
        }
    }
}

最短路徑

在執行廣度優先搜索時，會自動查找從一個頂點到另外一個相連頂點的最短路徑

肯定路徑

要查找最短路徑，須要修改廣度優先搜索算法來記錄從一個頂點到另外一個頂點的路徑，咱們須要一個數組來保存從一個頂點操下一個頂點的全部邊，咱們將這個數組命名爲edgeTo

this.edgeTo = [];//將這行添加到Graph類中

//bfs函數
function bfs(s){
    var queue = [];
    this.marked = true;
    queue.push(s);//添加到隊尾
    while(queue.length>0){
        var v = queue.shift();//從隊首移除
        if(v == undefined){
            print("Visited vertex: " + v);
        }
        for each(var w in this.adj[v]){
            if(!this.marked[w]){
                this.edgeTo[w] = v;
                this.marked[w] = true;
                queue.push(w);
            }
        }
    }
}

拓撲排序算法

拓撲排序會對有向圖的全部頂點進行排序，使有向邊從前面的頂點指向後面的頂點。
拓撲排序算法與BFS相似，不一樣的是，拓撲排序算法不會當即輸出已訪問的頂點，而是訪問當前頂點鄰接表中的全部相鄰頂點，直到這個列表窮盡時，纔會將當前頂點壓入棧中。

拓撲排序算法被拆分爲兩個函數，第一個函數是topSort()，用來設置排序進程並調用一個輔助函數topSortHelper()，而後顯示排序好的頂點列表

拓撲排序算法主要工做是在遞歸函數topSortHelper()中完成的，這個函數會將當前頂點標記爲已訪問，而後遞歸訪問當前頂點鄰接表中的每一個頂點，標記這些頂點爲已訪問。最後，將當前頂點壓入棧中。

//topSort()函數
function topSort(){
    var stack = [];
    var visited = [];
    for(var i =0;i<this.vertices;i++){
        visited[i] = false;
    }
    for(var i = 0;i<this.vertices;i++){
        if(visited[i] == false){
            this.topSortHelper(i,visited,stack);
        }
    }
    for(var i = 0;i<stack.length;i++){
        if(stack[i] !=undefined && stack[i] != false){
            print(this.vertexList[stack[i]]);
        }
    }
}

//topSortHelper()函數
function topSortHelper(v,visited,stack){
    visited[v] = true;
    for each(var w in this.adj[v]){
        if(!visited[w]){
            this.topSortHelper(visited[w],visited,stack);
        }
    }
    stack.push(v);
}