透視矩陣的推導（最直觀、最深刻、最還原，看完請點贊。）

由參數l,r,b,t,n,f定義的透視投影矩陣的推導困惑了我差點兒相同一個多禮拜。這幾天差點兒是每天都在思考這個問題。昨天晚上3點多鐘我忽然醒了，而後我又開始想這個問題，結果最終讓我給想通了，因而我趕忙起牀把這個思路記在了草稿紙上，還專門照了張照片做證。

爲了解決問題，前幾天我專門發了兩篇帖子求答案，結果知網上的竟然沉掉了。而在csdn上也沒有獲得答案（質疑有關透視投影矩陣的推導）。

幸好我本身仍是攻克了這個問題。
如下推導的是OpenGL中的透視投影矩陣。
已經知道由參數fovy,aspect,n,f定義的透視投影矩陣爲：(有關這塊的推導可見《3d graphics for game programming》 2.4.3 derivation of projection matrix，講得很具體)
POpenGL= ⎛⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜cot(fovy2)aspect0000cot(fovy2)0000−f+nf−n−100−2nff−n0⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
那麼再看還有一種投影參數l,r,b,t,n,f，上面矩陣中：
cot(fovy2)aspect=cot(fovx2)=2nr−l,
cot(fovy2)=2nt−b.
因爲參數l,r是相應視見空間中x軸的座標，b,t相應視見空間中y軸的座標，假設l=-r並且b=-t。那麼由這樣的參數定義的透視投影矩陣就是：
P′OpenGL= ⎛⎝⎜⎜⎜⎜⎜2nr−l00002nt−b0000−f+nf−n−100−2nff−n0⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟
而官方的透視投影矩陣是：
POpenGL= ⎛⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜2nr−l00002nt−b00r+lr−lt+bt−b−f+nf−n−100−2nff−n0⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟
實際上這個矩陣是由兩步轉換完畢的，第一步是進行矩陣 P′OpenGL 變換，而後進行了平移操做。例如如下：

POpenGL=T×P′OpenGL=⎛⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜100001000010−r+lr−l−t+bt−b01⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟×⎛⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜2nr−l00002nt−b0000−f+nf−n−100−2nff−n0⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟=⎛⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜2nr−l00002nt−b00r+lr−lt+bt−b−f+nf−n−100−2nff−n0⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

那些說這個透視投影沒有作平移這一步操做，我可以100%跟你說你是錯的！

如下我來解釋爲何進行了平移操做。
來張示意圖：

這個是視見空間中的示意圖。因爲存在l≠-r或b≠-t的狀況。因此這裏我有益沒把近裁剪平面中心畫在z軸上。

示意圖上由紅線繪製的立方體纔是由l,r,b,t,n,f參數定義的視錐體，當中遠裁剪平面上的四個點分別相應原點eye通過近裁剪平面上四個點的延長線與z=-f平面的交點，注意這個視錐體是不規則的！

而後圖中的標註l’, r’是近裁剪平面點(l,b,-n)和點(r,b,-n)x軸上的份量在 z=−cot(fovx2) 上的投影， l′=2lr−l 。 r′=2rr−l 。l’和r’的中心值是 r+lr−l 。同理近裁剪平面上點(r,b,-n)和點(r,t,-n)y軸上的份量在 z=−cot(fovy2) 上的投影。 b′=2bt−b ， t′=2tt−b ，b’和t’的中心值是 t+bt−b 。圖中的視錐體經過 P′OpenGL 透視變換以後獲得的是規則的正方體（左下角頂點 (2lr−l,2bt−b,1) ，右上角頂點 (2rr−l,2tt−b,−1)） 。最終要把它轉換成cvv（canonical view volume，正規可視化空間）。則需要進行T平移轉換，也就是平移 (−r+lr−l,−t+bt−b,0) 。得證。