【轉】關於時間複雜度的計算

　　1、概念

　　　　時間複雜度是總運算次數表達式中受n的變化影響最大的那一項(不含係數)

　　　　好比：通常總運算次數表達式相似於這樣：

　　　　a*2^n+b*n^3+c*n^2+d*n*lg(n)+e*n+f
　　　　a ！ =0時，時間複雜度就是O(2^n);
　　　　a=0,b<>0 =>O(n^3);
　　　　a,b=0,c<>0 =>O(n^2)依此類推

　　　　eg:

　　　　(1) for(i=1;i<=n;i++)   //循環了n*n次，固然是O(n^2)
            　　　for(j=1;j<=n;j++)
                 s++;
　　　　(2) for(i=1;i<=n;i++)//循環了(n+n-1+n-2+...+1)≈(n^2)/2，由於時間複雜度是不考慮係數的，因此也是O(n^2)
            　　for(j=i;j<=n;j++)
                 s++;
　　　　(3) for(i=1;i<=n;i++)//循環了(1+2+3+...+n)≈(n^2)/2,固然也是O(n^2)
            for(j=1;j<=i;j++)
                 s++;
　　　　(4) i=1;k=0;

     　　 while(i<=n-1)//循環了n-1≈n次，因此是O(n)

      　　　　k+=10*i;

　　　　　　　　i++; }　　

　　　　(5) for(i=1;i<=n;i++)

             for(j=1;j<=i;j++)

                 for(k=1;k<=j;k++)

                       x=x+1;

　　　　　　　　//循環了(1^2+2^2+3^2+...+n^2)=n(n+1)(2n+1)/6(這個公式要記住哦)≈(n^3)/3，不考慮係數，天然是O(n^3)

　　　　　　　　另外，在時間複雜度中，log(2,n)(以2爲底)與lg(n)(以10爲底)是等價的，由於對數換底公式：
　　
　　　　　　　　log(a,b)=log(c,b)/log(c,a)

　　　　　　　　因此，log(2,n)=log(2,10)*lg(n),忽略掉係數，兩者固然是等價的

　　2、計算方法

　　　　1.一個算法執行所耗費的時間，從理論上是不能算出來的，必須上機運行測試才能知道。但咱們不可能也沒有必要對每一個算法都上機測試，
　　　　　　只需知道哪一個算法花費的時間多，哪一個算法花費的時間少就能夠了。而且一個算法花費的時間與算法中語句的執行次數成正比例，

　　　　　　哪一個算法中語句執行次數多，它花費時間就多。一個算法中的語句執行次數稱爲語句頻度或時間頻度。記爲T(n)。

　　　　2.通常狀況下，算法的基本操做重複執行的次數是模塊n的某一個函數f（n），所以，算法的時間複雜度記作：T（n）=O（f（n））。

　　　　　隨着模塊n的增大，算法執行的時間的增加率和f（n）的增加率成正比，因此f（n）越小，算法的時間複雜度越低，算法的效率越高。

　　　　在計算時間複雜度的時候，先找出算法的基本操做，而後根據相應的各語句肯定它的執行次數，再找出T（n）的同數量級（它的同數量級有如下：1，Log2n ，n ，nLog2n ，n的平方，n的三次方，2的n次方，n！），找出後，f（n）=該數量級，若T(n)/f(n)求極限可獲得一常數c，則時間複雜度T（n）=O（f（n））。

　　　　3.常見的時間複雜度

　　　　按數量級遞增排列，常見的時間複雜度有：

　　　　常數階O(1),  對數階O(log2n),  線性階O(n),  線性對數階O(nlog2n),  平方階O(n^2)， 立方階O(n^3),...， k次方階O(n^k), 指數階O(2^n) 。

　　　　其中，

　　　　1.O(n)，O(n^2)， 立方階O(n^3),...， k次方階O(n^k) 爲多項式階時間複雜度，分別稱爲一階時間複雜度，二階時間複雜度。。。。

　　　　2.O(2^n)，指數階時間複雜度，該種不實用

　　　　3.對數階O(log2n), 線性對數階O(nlog2n)，除了常數階之外，該種效率最高

　　例：算法：
  　　for（i=1;i<=n;++i）
  　　{
    　　 for(j=1;j<=n;++j)
    　　 {
        　　 c[ i ][ j ]=0; //該步驟屬於基本操做 執行次數：n^2

          　　for(k=1;k<=n;++k)
               c[ i ][ j ]+=a[ i ][ k ]*b[ k ][ j ]; //該步驟屬於基本操做 執行次數：n^3
     　　}
 　　 }
  　　則有 T（n）= n^2+n^3，根據上面括號裏的同數量級，咱們能夠肯定 n^3爲T（n）的同數量級
  　　則有f（n）= n^3，而後根據T（n）/f（n）求極限可獲得常數c
  　　則該算法的 時間複雜度：T（n）=O（n^3)。
　　
　　　4、定義：若是一個問題的規模是n,解這一問題的某一算法所須要的時間爲T(n)，它是n的某一函數

　　　　　　T(n)稱爲這一算法的「時間複雜性」。

　　　　當輸入量n逐漸加大時，時間複雜性的極限情形稱爲算法的「漸近時間複雜性」。

　　　　咱們經常使用大O表示法表示時間複雜性，注意它是某一個算法的時間複雜性。大O表示只是說有上界，
　　　　由定義若是f(n)=O(n)，那顯然成立f(n)=O(n^2)，它給你一個上界，但並非上確界，但人們在表示的時候通常都習慣表示前者。

　　　　此外，一個問題自己也有它的複雜性，若是某個算法的複雜性到達了這個問題複雜性的下界，那就稱這樣的算法是最佳算法。

　　　　「大O記法」：在這種描述中使用的基本參數是n，即問題實例的規模，把複雜性或運行時間表達爲n的函數。這裏的「O」表示量級 (order)，
　　　　好比說「二分檢索是 O(logn)的」,也就是說它須要「經過logn量級的步驟去檢索一個規模爲n的數組」記法 O ( f(n) )表示
　　　　當 n增大時，運行時間至多將以正比於 f(n)的速度增加。

　　　　這種漸進估計對算法的理論分析和大體比較是很是有價值的，但在實踐中細節也可能形成差別。
　　　　例如，一個低附加代價的O(n2)算法在n較小的狀況下可能比一個高附加代價的 O(nlogn)算法運行得更快。
　　　　固然，隨着n足夠大之後，具備較慢上升函數的算法必然工做得更快。

　　　　O(1)

　　　　Temp=i;i=j;j=temp;

　　　　以上三條單個語句的頻度均爲1，該程序段的執行時間是一個與問題規模n無關的常數。
　　　　算法的時間複雜度爲常數階，記做T(n)=O(1)。若是算法的執行時間不隨着問題規模n的增長而增加，
　　　　即便算法中有上千條語句，其執行時間也不過是一個較大的常數。此類算法的時間複雜度是O(1)。

　　　　O(n^2)

　　2.1.
　　　　交換i和j的內容
　　　　sum=0； （一次）
　　　　for(i=1;i<=n;i++) （n次 ）
　　　　for(j=1;j<=n;j++)
　　　　（n^2次 ）
　　　　sum++； （n^2次 ）
　　　　解：T(n)=2n^2+n+1 =O(n^2)

　　2.2.
　　　　for (i=1;i<n;i++)
　　　　{
　　　　y=y+1; ①
　　　　for
　　　　(j=0;j<=(2*n);j++)
　　　　　　x++; ②
　　　　}
　　解：
　　　　語句1的頻度是n-1
　　　　語句2的頻度是(n-1)*(2n+1)=2n^2-n-1
　　　　f(n)=2n^2-n-1+(n-1)=2n^2-2
　　　　該程序的時間複雜度T(n)=O(n^2).

　　　　O(n)

　　2.3.
　　　　a=0;
　　　　b=1; ①
　　　　for(i=1;i<=n;i++) ②
　　　　{
　　　　　　s=a+b;　　　　③
　　　　　　b=a;　　　　　④
　　　　　　a=s;　　　　　⑤
　　　　}
　　　　解：語句1的頻度：2,
　　　　　　語句2的頻度：
　　　　　　n,
　　　　　　語句3的頻度： n-1,
　　　　　　語句4的頻度：n-1,
　　　　　　語句5的頻度：n-1,
　　　　　　T(n)=2+n+3(n-1)=4n-1=O(n).

　　　　O(log2n)
　　2.4.

　　　　i=1; ①
　　　　while (i<=n)
　　　　　　i=i*2; ②
　　　　解： 語句1的頻度是1,
　　　　　　設語句2的頻度是f(n), 則：2^f(n)<=n;f(n)<=log2n
　　　　　　取最大值f(n)=
　　　　　　log2n,
　　　　　　T(n)=O(log2n )

　　　　　　O(n^3)

　　2.5.
　　　　for(i=0;i<n;i++)
　　　　{
　　　　　　for(j=0;j<i;j++)
　　　　　　{
　　　　　　　　for(k=0;k<j;k++)
　　　　　　　　　　x=x+2;
　　　　　　　}
　　　　}
　　　　解：當i=m,
　　　　j=k的時候,內層循環的次數爲k當i=m時, j 能夠取 0,1,...,m-1 , 因此這裏最內循環共進行了0+1+...+m-1=(m-1)m/2次因此,
　　　　i從0取到n, 則循環共進行了: 0+(1-1)*1/2+...+(n-1)n/2=n(n+1)(n-1)/6因此時間複雜度爲O(n^3).

　　　　咱們還應該區分算法的最壞狀況的行爲和指望行爲。如快速排序的最
　　　　壞狀況運行時間是 O(n^2)，但指望時間是 O(nlogn)。經過每次都仔細 地選擇基準值，
　　　　咱們有可能把平方狀況 (即O(n^2)狀況)的機率減少到幾乎等於 0。在實際中，
　　　　精心實現的快速排序通常都能以 (O(nlogn)時間運行。
　　　　下面是一些經常使用的記法：

　　　　訪問數組中的元素是常數時間操做，或說O(1)操做。一個算法如 果能在每一個步驟去掉一半數據元素，
　　　　如二分檢索，一般它就取 O(logn)時間。用strcmp比較兩個具備n個字符的串須要O(n)時間。
　　　　常規的矩陣乘算法是O(n^3)，由於算出每一個元素都須要將n對
　　　　元素相乘並加到一塊兒，全部元素的個數是n^2。
　　　　指數時間算法一般來源於須要求出全部可能結果。例如，n個元 素的集合共有2n個子集,
　　　　因此要求出全部子集的算法將是O(2n)的。指數算法通常說來是太複雜了，除非n的值很是小，
　　　　由於，在 這個問題中增長一個元素就致使運行時間加倍。不幸的是，
　　　　確實有許多問題 (如著名的「巡迴售貨員問題」 )，到目前爲止找到的算法都是指數的。
　　　　若是咱們真的遇到這種狀況，一般應該用尋找近似最佳結果的算法替代之。

　　　　轉自：http://blog.csdn.net/firefly_2002/article/details/8008987