如何計算時間複雜度(轉)

時間 2019-12-05

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1、概念

時間複雜度是總運算次數表達式中受n的變化影響最大的那一項(不含係數)
好比：通常總運算次數表達式相似於這樣：
a*2^n+b*n^3+c*n^2+d*n*lg(n)+e*n+f
a ！ =0時，時間複雜度就是O(2^n);
a=0,b<>0 =>O(n^3);
a,b=0,c<>0 =>O(n^2)依此類推

eg:

(1)   for(i=1;i<=n;i++)   //循環了n*n次，固然是O(n^2)
            for(j=1;j<=n;j++)
                 s++;
(2)   for(i=1;i<=n;i++)//循環了(n+n-1+n-2+...+1)≈(n^2)/2，由於時間複雜度是不考慮係數的，因此也是O(n^2)
            for(j=i;j<=n;j++)
                 s++;
(3)   for(i=1;i<=n;i++)//循環了(1+2+3+...+n)≈(n^2)/2,固然也是O(n^2)
            for(j=1;j<=i;j++)
                 s++;
(4)   i=1;k=0;

      while(i<=n-1){

           k+=10*i;

i++; }

//循環了

n-1≈n次，因此是O(n)

(5) for(i=1;i<=n;i++)

             for(j=1;j<=i;j++)

                 for(k=1;k<=j;k++)

                       x=x+1;

//

循環了(1^2+2^2+3^2+...+n^2)=n(n+1)(2n+1)/6(這個公式要記住哦)≈(n^3)/3，不考慮係數，天然是O(n^3)

另外，在時間複雜度中，log(2,n)(以2爲底)與lg(n)(以10爲底)是等價的，由於對數換底公式：

log(a,b)=log(c,b)/log(c,a)
因此，log(2,n)=log(2,10)*lg(n),忽略掉係數，兩者固然是等價的

2、計算方法

1.一個算法執行所耗費的時間，從理論上是不能算出來的，必須上機運行測試才能知道。但咱們不可能也沒有必要對每一個算法都上機測試，只需知道哪一個算法花費的時間多，哪一個算法花費的時間少就能夠了。而且一個算法花費的時間與算法中語句的執行次數成正比例，哪一個算法中語句執行次數多，它花費時間就多。

一個算法中的語句執行次數稱爲語句頻度或時間頻度。記爲T(n)。

2.通常狀況下，算法的基本操做重複執行的次數是模塊n的某一個函數f（n），所以，算法的時間複雜度記作：T（n）=O（f（n））。隨着模塊n的增大，算法執行的時間的增加率和f（n）的增加率成正比，因此f（n）越小，算法的時間複雜度越低，算法的效率越高。

在計算時間複雜度的時候，先找出算法的基本操做，而後根據相應的各語句肯定它的執行次數，再找出T（n）的同數量級（它的同數量級有如下：1，Log2n ，n ，nLog2n ，n的平方，n的三次方，2的n次方，n！），找出後，f（n）=該數量級，若T(n)/f(n)求極限可獲得一常數c，則時間複雜度T（n）=O（f（n））。

3.常見的時間複雜度

按數量級遞增排列，常見的時間複雜度有：

常數階O(1),  對數階O(log2n),  線性階O(n),  線性對數階O(nlog2n),  平方階O(n^2)， 立方階O(n^3),...， k次方階O(n^k), 指數階O(2^n) 。

其中，

1.O(n)，O(n^2)， 立方階O(n^3),...， k次方階O(n^k) 爲多項式階時間複雜度，分別稱爲一階時間複雜度，二階時間複雜度。。。。

2.O(2^n)，指數階時間複雜度，該種不實用

3.對數階O(log2n),   線性對數階O(nlog2n)，除了常數階之外，該種效率最高

例：算法：
  for（i=1;i<=n;++i）
  {
     for(j=1;j<=n;++j)
     {
         c[ i ][ j ]=0; //該步驟屬於基本操做 執行次數：n^2

          for(k=1;k<=n;++k)
               c[ i ][ j ]+=a[ i ][ k ]*b[ k ][ j ]; //該步驟屬於基本操做 執行次數：n^3
     }
  }
  則有 T（n）= n^2+n^3，根據上面括號裏的同數量級，咱們能夠肯定 n^3爲T（n）的同數量級
  則有f（n）= n^3，而後根據T（n）/f（n）求極限可獲得常數c
  則該算法的 時間複雜度：T（n）=O（n^3)

4、

定義：若是一個問題的規模是n，解這一問題的某一算法所須要的時間爲T(n)，它是n的某一函數 T(n)稱爲這一算法的「時間複雜性」。

當輸入量n逐漸加大時，時間複雜性的極限情形稱爲算法的「漸近時間複雜性」。

咱們經常使用大O表示法表示時間複雜性，注意它是某一個算法的時間複雜性。大O表示只是說有上界，由定義若是f(n)=O(n)，那顯然成立f(n)=O(n^2)，它給你一個上界，但並非上確界，但人們在表示的時候通常都習慣表示前者。

此外，一個問題自己也有它的複雜性，若是某個算法的複雜性到達了這個問題複雜性的下界，那就稱這樣的算法是最佳算法。

「大O記法」：在這種描述中使用的基本參數是 n，即問題實例的規模，把複雜性或運行時間表達爲n的函數。這裏的「O」表示量級 (order)，好比說「二分檢索是 O(logn)的」,也就是說它須要「經過logn量級的步驟去檢索一個規模爲n的數組」記法 O ( f(n) )表示當 n增大時，運行時間至多將以正比於 f(n)的速度增加。

這種漸進估計對算法的理論分析和大體比較是很是有價值的，但在實踐中細節也可能形成差別。例如，一個低附加代價的O(n2)算法在n較小的狀況下可能比一個高附加代價的 O(nlogn)算法運行得更快。固然，隨着n足夠大之後，具備較慢上升函數的算法必然工做得更快。

O(1)

Temp=i;i=j;j=temp;

以上三條單個語句的頻度均爲1，該程序段的執行時間是一個與問題規模n無關的常數。算法的時間複雜度爲常數階，記做T(n)=O(1)。若是算法的執行時間不隨着問題規模n的增長而增加，即便算法中有上千條語句，其執行時間也不過是一個較大的常數。此類算法的時間複雜度是O(1)。

O(n^2)

2.1. 交換i和j的內容
     sum=0；                 （一次）
     for(i=1;i<=n;i++)       （n次）
        for(j=1;j<=n;j++) （n^2次）
         sum++；       （n^2次）
解：T(n)=2n^2+n+1 =O(n^2)

2.2.
    for (i=1;i<n;i++)
    {
        y=y+1;         ①
        for (j=0;j<=(2*n);j++)
           x++;        ②
    }
解：語句1的頻度是n-1
          語句2的頻度是(n-1)*(2n+1)=2n^2-n-1
          f(n)=2n^2-n-1+(n-1)=2n^2-2
          該程序的時間複雜度T(n)=O(n^2).

O(n)

2.3.
    a=0;
    b=1;                      ①
    for (i=1;i<=n;i++) ②
    {
       s=a+b;　　　　③
       b=a;　　　　　④
       a=s;　　　　　⑤
    }
解：語句1的頻度：2,
           語句2的頻度： n,
          語句3的頻度： n-1,
          語句4的頻度：n-1,
          語句5的頻度：n-1,
          T(n)=2+n+3(n-1)=4n-1=O(n).

O(log2n )

2.4.
     i=1;       ①
    while (i<=n)
       i=i*2; ②
解：語句1的頻度是1,
          設語句2的頻度是f(n),   則：2^f(n)<=n;f(n)<=log2n
          取最大值f(n)= log2n,
          T(n)=O(log2n )

O(n^3)

2.5.
    for(i=0;i<n;i++)
    {
       for(j=0;j<i;j++)
       {
          for(k=0;k<j;k++)
             x=x+2;
       }
    }
解：當i=m, j=k的時候,內層循環的次數爲k當i=m時, j 能夠取 0,1,...,m-1 , 因此這裏最內循環共進行了0+1+...+m-1=(m-1)m/2次因此,i從0取到n, 則循環共進行了: 0+(1-1)*1/2+...+(n-1)n/2=n(n+1)(n-1)/6因此時間複雜度爲O(n^3).


咱們還應該區分算法的最壞狀況的行爲和指望行爲。如快速排序的最壞狀況運行時間是 O(n^2)，但指望時間是 O(nlogn)。經過每次都仔細地選擇基準值，咱們有可能把平方狀況 (即O(n^2)狀況)的機率減少到幾乎等於 0。在實際中，精心實現的快速排序通常都能以 (O(nlogn)時間運行。
下面是一些經常使用的記法：

訪問數組中的元素是常數時間操做，或說O(1)操做。一個算法如果能在每一個步驟去掉一半數據元素，如二分檢索，一般它就取 O(logn)時間。用strcmp比較兩個具備n個字符的串須要O(n)時間。常規的矩陣乘算法是O(n^3)，由於算出每一個元素都須要將n對元素相乘並加到一塊兒，全部元素的個數是n^2。
指數時間算法一般來源於須要求出全部可能結果。例如，n個元素的集合共有2n個子集,因此要求出全部子集的算法將是O(2n)的。指數算法通常說來是太複雜了，除非n的值很是小，由於，在這個問題中增長一個元素就致使運行時間加倍。不幸的是，確實有許多問題 (如著名的「巡迴售貨員問題」 )，到目前爲止找到的算法都是指數的。若是咱們真的遇到這種狀況，一般應該用尋找近似最佳結果的算法替代之。