2019-2020學年第2學期-數學分析2

時間  2020-06-02
標籤 學年 學期 數學分析 欄目 應用數學 简体版
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<table border="0"> <tr> <td><a href="#lecture_info"> 課程信息 </a></td> <td><a href="#schedule"> 教學計劃 </a></td> <td><a href="#remark"> 註記隨記 </a></td> <td><a href="#homework"> 做業 </a></td> </tr> </table>git

<a name="lecture_info"> 課程信息 </a>

曲阜師範大學數學科學學院, 2019級信息與計算科學專業.github

上課時間: 1-18周, 週二3-4節，週四1-2節，週五3-4節. 6課時/周, 共計108課時. 上課地點: 數學樓106教室. 晚自習答疑: 待定.算法

教材:jsp

數學分析(上冊，第五版), 華東師範大學數學科學學院 編, 高等教育出版社, 2019, ISBN: 9787040506945. 第4版上冊教材下載ide

數學分析(下冊，第五版), 華東師範大學數學科學學院 編, 高等教育出版社, 2019, ISBN: 9787040513233.函數

習題解答:post

數學分析習題課講義(2), 李傅山、王培合 編著, 北京大學出版社, 2018, ISBN: 9787301291856.學習

參考資料:spa

【1】吉米多維奇數學分析習題集學習指引(第2冊), 謝惠民、沐定夷 編著, 高等教育出版社, 2011， ISBN: 9787040323566. 下載教程

【2】數學分析習題課講義(上冊，第2版), 謝惠民、惲自求等 編, 高等教育出版社，2018， ISBN: 9787040498516.

【3】數學分析習題課講義(下冊，第2版), 謝惠民、惲自求等 編, 高等教育出版社，2018， ISBN: 9787040511529.

【4】數學分析中的典型問題與方法(第2版), 裴禮文 編, 高等教育出版社, 2006, ISBN: 9787040184549.

【5】數學分析原理與方法, 胡適耕 、張顯文 編著, 科學出版社, 2008, ISBN: 9787030217974.

【6】微積分學教程(第二卷，第8版), [俄] 菲赫金哥爾茨 著, 徐獻瑜、冷生明、梁文騏 譯, 高等教育出版社, 2006, ISBN: 9787040183047.

【7】數學分析原理(第3版), [美] Walter Rudin 著, 趙慈庚、蔣鐸 譯, 機械工業出版社, 2004, ISBN: 9787111134176.

<a name="schedule"> 教學計劃 </a>

教學日曆 下載

第七章 實數系的完備性 第八章 不定積分 第九章 定積分

<span id="ch7">第七章 實數系的完備性</span>

實數系完備性的定理體系:

  1. 確界原理;
  2. 單調有界定理;
  3. 緻密性定理;
  4. Cauchy收斂準則;
  5. 閉區間套定理;
  6. 聚點定理;
  7. 有限覆蓋定理.

咱們在第1章和第2章已經學過前4個定理. 本章學習後面3個定理.

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  • P1 閉區間套定理-1 區間套的概念. 閉區間套定理、推論及相關討論(開區間套通常沒有公共點).
  • P2 閉區間套定理-2 利用閉區間套定理能夠證實連續函數的零點存在定理, 證實過程稱爲「二分法」, 它提供了求解方程$f(x)=0$的近似根的一種迭代算法.
  • P3 聚點定理-1 聚點的定義和其它等價定義. 聚點定義的等價性證實.
  • P4 聚點定理-2 聚點定理的證實. 方法1：利用閉區間套定理; 方法2：利用緻密性定理.
  • P5 有限覆蓋定理-1 覆蓋的定義. 有限覆蓋定理及其證實. 證實方法: 利用閉區間套定理.
  • P6 有限覆蓋定理-2 有限覆蓋定理的應用：1. 證實閉區間上連續函數的有界性定理；2. 證實一致連續性定理(閉區間上的連續函數必定一致連續).
  • P7 習題課-1 7.1節習題1-7題; 總練習題第1題.
  • P8 習題課-2 7.1節習題第10題, 經過引入增強形式的覆蓋定理, 證實連續函數的零點存在定理.

<span id="ch8">第八章 不定積分</span>

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8.1 不定積分概念與基本積分公式

(授課講義pdf)

8.2 換元積分法與分部積分法

(授課講義pdf)

8.3 有理函數和可化爲有理函數的不定積分

(授課講義pdf)

  • P13 8.3-有理函數和可化爲有理函數的不定積分-1 求有理函數的不定積分的步驟: Step1. 利用多項式除法將假分式化爲多項式和真分式的和; Step2. 對真分式的分母作標準分解; Step3. 按照分母的標準分解形式, 將做爲被積函數的真分式分解爲4類部分分式的和; 4. 求部分分式的不定積分, 最終獲得被積函數的不定積分. 4類部分分式:
    • $$(I)\quad \frac{A}{x-a};$$
    • $$(II)\quad \frac{A}{(x-a)^k}\quad (k\geq 2);$$
    • $$(III) \quad \frac{Bx+C}{x^2+px+q}\quad (\Delta =p^2-4q<0);$$
    • $$(IV) \quad \frac{Bx+C}{(x^2+px+q)^k}\quad (k\geq 2,\ \Delta =p^2-4q<0);$$
    難點: 1. 分母的標準分解(須要經驗與技巧); 2. 真分式分解爲部分分式的和(計算量大); 3. 求第(IV)類部分分式的不定積分(計算量大).
  • P14 8.3-有理函數和可化爲有理函數的不定積分-2 教材中有理函數不定積分的例子. 建議記住如下兩個不定積分:
    • $$\int \frac{t}{t^2+1}{\rm d} t=\frac{1}{2}\int \frac{1}{1+t^2}{\rm d}(t^2)=\frac{1}{2}\ln (t^2+1)+C; $$
    • $$\int \frac{1}{(t^2+1)^2}{\rm d} t=\frac{1}{2}\left(\arctan t+\frac{t}{t^2+1} \right)+C.$$
  • P15 8.3-有理函數和可化爲有理函數的不定積分-3 三角函數有理式的不定積分, 有兩種經常使用的變量替換方法: 1. 萬能代換$t=\tan \frac{x}{2}$; 2. 有理式中的三角函數是以$\sin^2 x$, $\cos^2 x$, $\tan x$等形式出現的, 可嘗試利用$t=\tan x$.
  • P16 8.3-有理函數和可化爲有理函數的不定積分-4 含根式的有理式的不定積分 $$\int R\left(x, \sqrt[n]{\frac{ax+b}{cx+d}}\right){\rm d}x\quad (ad-bc\neq 0),$$ 利用變換$t=\sqrt[n]{\frac{ax+b}{cx+d}}$將上述不定積分轉化爲關於變量$t$的有理函數的不定積分$\int R(t){\rm d}t$.
  • P17 8.3-有理函數和可化爲有理函數的不定積分-5 含根式的有理式的不定積分 $$\int R\left(x, \sqrt{ax^2 +bx +c}\right){\rm d}x\quad (ad-bc\neq 0),$$ 其中(i) $a>0$而且$\Delta=b^2-4ac\neq 0$; 或者(ii) $a<0$而且$\Delta=b^2-4ac>0$, 上述兩種條件保證二次根式可以成立. 處理方法：
    • 直角三角形技巧；
    • Euler變換.

第8章習題課

(授課講義pdf)

<span id="ch9">第九章 定積分</span>

9.1 定積分概念

(授課講義pdf)

  • P1 9.1-定積分概念-1 區間的分割, Remann和及其幾何意義, Riemann可積與Riemann積分. 問題1: 給定區間$[a,b]$上的函數$f$, 如何判斷$f$在$[a,b]$上可積? 連續必定可積. 問題2: 已知$f$在$[a,b]$上可積, 如何計算$\int_a^b f(x){\rm d}x$?
  • P2 9.1-定積分概念-2 Riemann積分與Riemann和的極限之間的轉化. 定積分的幾何意義: 分割，近似, 取極限. 用定積分來定義(不規則)平面圖形的面積.
  • P2 9.1-定積分概念-3 計算平面圖形面積的具體例子.

9.2 Newton-Leibniz公式

(授課講義pdf)

9.3 可積條件

(授課講義pdf)

  • P6 9.3-可積條件-1 可積的必要條件：可積必有界, 無界必不可積; 有界不必定可積, 反例-Dirichlet函數. 可積的充分必要條件: Darbo和方法.
  • P7 9.3-可積條件-2 可積函數類：(1) 在$[a,b]$上連續的函數; (2) 在$[a,b]$上只有有限多個間斷點的有界函數; (3) 在$[a,b]$上單調的有界函數.
  • P8 9.3-可積條件-3 在$[a,b]$上有無限多個間斷點的有界函數, 可能可積, 也可能不可積. 可積的例子.
  • P9 9.3-可積條件-4 專題: Riemann函數的連續性和可積性. Riemann函數$R(x)$在$(0,1)$中的有理點都不連續, 無理點都連續. $R(x)$在$[0,1]$上可積而且 $$\int_0^1 R(x){\rm d}x=0.$$

第九章習題課1

(授課講義pdf)

9.4 定積分的性質

(授課講義pdf)

  • P12 9.4-定積分的性質-1 線性性質, 乘積性質.
  • P13 9.4-定積分的性質-2 區域(區間)可加性.
  • P14 9.4-定積分的性質-3 保不等式性, 絕對值性質.
  • P15 9.4-定積分的性質-4 基本性質的應用例子. 重要的例子: 非負連續函數的定積分.
  • P16 9.4-定積分的性質-5 積分第一中值定理, 推廣形式的積分第一中值定理, 推論.
  • P17 9.4-定積分的性質-6 中值點$\xi$實際上能夠在開區間$(a,b)$內取得. 對含參數$n\in \Bbb{N}_+$的定積分求極限的例子.
  • P18 9.4-定積分的性質-7 問題: 求極限與求定積分是否能夠交換順序? 設$f_n,f$均在$[a,b]$上可積, 而且對任意$x\in [a,b]$, 有$\lim\limits_{n\to \infty}f_n(x)=f(x)$, 是否有 $$\lim_{n\to \infty}\int_a^b f_n(x){\rm d}x=\int_a^b f(x){\rm d}x=\int_a^b \lim_{n\to \infty}f_n(x){\rm d}x?$$ 不必定.

第九章習題課2

(授課講義pdf)

9.5 微積分學基本定理·定積分計算(續)

<a name="remark"> 註記隨記 </a>

<a name="homework"> 做業 </a>

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