線性代數--線性方程組的結構

1.齊次方程組的結構。

基礎解系

*齊次線性方程組*的解系就是它的基礎解集的極大無關組。非齊次線性方程組它的解集並非一個線性空間。

留在左邊的是首元1的個數，也就是A 的秩r(A), 則自由變量的個數就是n-r(A)。

取此值的理由是，這兩個向量是對應線性無關的。

則得出的兩個兩個向量是  基礎解系。

要證實這個論點成立，只須要證實：1.他們是極大，2無關（砍掉最後兩列，直觀能夠得出結論）。

 

增廣矩陣經過初等變化，最終簡化爲一個：左邊是約數的變量，右邊是自由變量。

證實他們是極大：假設方程任意一個解。任何一個其餘的向量，均可以寫成這個向量的線性組合。換言之，這兩個向量自己是線性無關，添上任何一個解以後就是線性相關。

小結：

r(S)是解集

換言之，解集的秩加上係數矩陣的秩正好等於n

證實1中：A至關於把本身當成一個分塊；B至關於行分紅了一塊，列沒有分塊。把A乘進去之後，獲得AB的每個都是列向量。因AB=0，則每一個列向量都爲0

非齊次線性方程組解的結構

特解：是解集中的任意一個解。

具體實例：

令x3,x4等於0，獲得一個特解。

再算出導出組的基礎解系