線性代數回頭看——線性方程組

一、線性方程組概述

線性方程組：包含未知數x1，x2，x3....xn的線性方程

　　其中b與係數a1，a2，a3...an是實數或複數，一般是已知的；下標n能夠爲任意數；線程方程組爲由一個或幾個包含相同變量x1，x2，x3....xn的線性方程組組成；
線性方程組的解分爲相容、與不相容兩種狀況；
　　相容： 一、惟一解；二、無窮解
　　不相容： 無解

線性方程組矩陣表示
　　可使用矩陣來表示線性方程組：
　　係數矩陣：只包含方程組係數的矩陣
　　增廣矩陣：在係數矩陣的基礎上加上線性方程組右邊的常數組成的矩陣

二、解線性方程組

　　經過使用矩陣表示線性方程組，對矩陣使用行初等變換，把矩陣行化簡爲：行階梯形矩陣或簡化行階梯形矩陣；

初等行變換：
　　一、倍加變換——把某行換成它自己與另外一行的倍數和
　　二、對換變換——兩行對換
　　三、倍乘變換——某一行的全部元素乘以同一個非零數
行階梯形矩陣：
　　一、每一非零行在每一零行之上
　　二、某一行的最左邊非零元素所在列在上面一行非零元素的右邊
　　三、某一最左邊非零元素所在列下方都是零
　　簡化階梯形爲在行階梯形矩陣的基礎上進一步簡化：
　　一、每一非零行最左邊非零元素爲1
　　二、每一最左邊非零元素1是該元素所在列的惟一非零元素
同一個矩陣使用不一樣的方法化簡，存在不一樣的行階梯形，但簡化階梯形只存在一個；

行階梯形相關概念:

　　主元位置：最左邊非零元素位置
　　主元列：主元所在列
　　主元：主元位置的非零元素

　　線性方程組行簡化後不必定每一個方程組都存在解，若存在解則稱該線性方程組相容，線性方程組相容，當且僅當：化簡後的增廣矩陣最右列不是主元列；
　　根據行簡化獲得行階梯形矩陣或簡化行階梯形矩陣，咱們能夠把線性方程組中的變量稱爲：基本變量、自由變量；

　　基本變量：主元列所在的變量
　　自由變量：非主元列的變量

三、線性組合

　　A爲m*n矩陣，矩陣各列爲：a一、a二、a3...、an，x爲Rn中的向量，則A與x的乘積爲Ax，爲A的各列以x對應元素爲權的線性組合；

線性方程Ax=b，有解當且僅當b爲矩陣A各列的線性組合；

齊次線性方程組：

若線性方程組能夠寫成Ax=0的形式，則該線性方程組爲齊次的；

　　平凡解：若Ax=0僅有x=0一個解，也稱爲平凡解
　　非平凡解：若Ax=0存在一個非x=0的解，即x爲非零向量

Ax=0有非平凡解，當且僅當線性方程至少存在一個自由變量

四、線性無關

線性無關：矩陣的各列線性無關，僅當Ax=0僅存在平凡解時成立
線性相關： Ax=0存在非平凡解

一個或兩個向量集合：
　　存在其中一個向量是另外一個向量的倍數時線性相關，不然線性無關；
兩個或更多向量集合：
　　一、向量集合中至少有一個向量是其餘的線性組合
　　二、向量組的個數超過每一個向量元素的個數
　　A爲n*p矩陣，Ax=0方程有p個未知量，n個方程，若p>n，一定存在自由變量，Ax=0必存在非平凡解，因此A的各列線性相關；
　　三、向量組包含零向量
知足這三個條件則線性相關；

參考資料：
線性代數及應用

文章首發地址：Solinx
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