線性代數中的線性方程組(chapter 1)

目錄

• 線性代數中的線性方程組
  • 線性方程組
  • 行化簡解法和階梯型矩陣
  • 向量方程
  • 矩陣方程$Ax = b$

線性代數中的線性方程組

第一章從線性方程組的角度，經過解線性方程組，開始解釋數學矩陣，以及和線性代數的聯繫

線性方程組

形如\(a_1x_1+a_2x_2+a_3x_3+....+a_nx_n=b\),其中\(a_1...a_n\)爲實數或者複數。

對於一個線性方程組，全部可能的解稱爲他的解集，若是兩個方程組，具備相同的解集，那麼咱們說這兩個方程組等價的。

對於一個線性方程組，他的解有三種狀況：

• 無解
• 有惟一解
• 有無窮多的解

若是對於一個線性方程組，他有惟一解或者無窮多個解，咱們稱它是相容的，若無解，咱們稱他是不相容的。

對於一個線性方程組求解，先將它的變量隱藏起來，再將變量的每一個係數寫在對齊的一列中，產生的一個矩陣，咱們稱它爲係數矩陣,將線性方程組右側的常數加入矩陣中，咱們獲得了增廣矩陣.

$ \begin{cases} x_1-2x_2+x_3=0\\ 2x_2+8x_3=8\\ -4x_1+5x_2+9x_3=9 \end{cases} $ → $\left[ \begin{matrix} 1 & -2 & 1\\ 0 & 2 & 8\\ -4 & 5 & 9\end{matrix} \right]$ → $\left[ \begin{array}{ccc|c} 1 & -2 & 1 & 0\\ 0 & 2 & 8 & 9\\ -4 & 5 & 9 & -9\end{array} \right]$

行化簡解法和階梯型矩陣

線性方程組的解法：
對於解一個線性方程組，一般的作法是將其化爲等價的更簡單的線性方程組。(也是基本思路)。在上一小節中，將一個線性方程組的係數提出化爲了增廣矩陣。接下來將採用行化簡算法，去將一個矩陣先變化爲與原矩陣等價的階梯形矩陣，再變成簡化行階梯形矩陣。
那麼，什麼是階梯形矩陣，什麼又是簡化行階梯形矩陣？

首先先明確2個意義：
1.矩陣中的非零行和列是指，矩陣中至少包含一個非零元素的行或列。
2.非零行的先導元素是指該行最左邊的非零元素。

知足如下三個條件的矩陣定義爲階梯形：
1.全部非零行在全部全零行的上面（即全零行都在矩陣的底部）。
2.非零行的先導元素比上面行的先導元素更靠右。
3.先導元素所在列，在該先導元素下面的元素都是零。
還知足如下兩個條件的階梯型矩陣可稱爲簡化階梯形：
4.全部非零行的先導元素爲1。
5.全部非零行僅有先導元素。

(∎表示先導元素，*表示能夠是任意數字)

線性方程組的解：

對一個增廣矩陣運用行化簡算法時，經過將其化爲等價的簡化階梯形後，能夠獲得線性方程組解題的一種顯示錶達法，例如某一個線性方程組的增廣矩陣已經化爲簡化階梯形

$\left[ \begin{matrix} 1 & 0 & -5 & 1\\ 0 & 1 & 1 & 4\\ 0 & 0 & 0& 0\end{matrix} \right]$ ,由於增廣矩陣有4列因此有3個未知數，對應線性方程組爲 $\begin{cases} x_1-5x_3=1\\ x_2+x_3=4\\ 0 = 0 \end{cases}$ ，對應主元列的變量$x_1$和$x_2$被稱爲基本變量，$x_3$被稱爲自由變量，當一個線性方程組是相容的，它的解集能夠用顯示錶達，只要把方程的簡化形式解出來，用自由變量表示基本變量便可。因爲簡化階梯型使每一個基本變量僅包含在一個方程中這是很容易解出的。 例如上面的，可得 $\begin{cases} x_1=1-5x_3\\ x_2=4-x_3\\ x_3 爲自由變量 \end{cases}$ 對於自由變量$x_3$,能夠是任意的值，當他的值肯定後，根據前兩個方程便可肯定$x_1$和$x_2$。上面例子給出的解又叫通解，由於他給出了全部解的顯式表達。

存在惟一性定理：
線性方程組相融的充要條件是，增廣矩陣的最右列不是主元列就是說增廣矩陣的階梯形沒有形如\(\left[ \begin{matrix} 1 & ... & 0 & b\end{matrix} \right]\)，b ≠ 0的行。若線性方程組相容，它的解集可能有兩種狀況：①沒有自由變量時，有惟一解；②若是至少有一個自由變量有無窮多解

總結一下，對於求解一個線性方程組，可分爲如下5個步驟：
1. 寫出該方程的增廣矩陣
2. 應用行化簡算法把增廣矩陣化爲階梯型，肯定方程組是否有解，有解則進行下一步
3. 繼續行化簡算法獲得它的簡化階梯形
4. 寫出簡化階梯形對應的方程組
5. 將方程改寫爲用自由變量表示基本變量的形式

向量方程

線性方程組的重要性質均可以用向量的概念與符號來描述，該節經過將線性方程組與向量方程聯繫起來，解釋其中的相關。

\(R\)²中的向量：
僅含一列的矩陣稱爲列向量，或簡稱向量如w = \(\left[ \begin{matrix} w_1\\ w_2\end{matrix} \right]\)，\(w_1\)和\(w_2\)是任意實數，全部2個元素的向量的集記做\(R\)²，其中R表示向量中的元素是實數，\(2\)表明一個向量包含2個元素，全部元素都爲0的向量記做\(0\)，對於向量的加減以及標量乘法運算的性質，再初中已學過，無需贅述。

線性組合：
給定\(R\)ⁿ中的向量\(v_1\)，\(v_2\)，\(v_3\)......\(v_k\)和標量\(c_1\)，\(c_2\)，\(c_3\)......\(c_k\)，向量
\(y\) = \(c_1v_1\) + \(c_2v_2\) + \(c_3v_3\) + ...... + \(c_kv_k\)
被稱做向量\(v_1\)，\(v_2\)，\(v_3\)......\(v_k\)以\(c_1\)，\(c_2\)，\(c_3\)......\(c_k\)權的線性組合，權能夠是任意實數，包括零

如今咱們回到前面2節中的存在性問題上，例如，給出向量\(a_1\) = \(\left[ \begin{matrix} 1\\ -2\\ -5\end{matrix} \right]\)，\(a_2\) = \(\left[ \begin{matrix} 2\\ 5\\ 6\end{matrix} \right]\)，\(b\) = \(\left[ \begin{matrix} 7\\ 4\\ -3\end{matrix} \right]\)，須要肯定\(b\)是否能夠寫成\(a_1\)和\(a_2\)的線性組合，也就是說，是否存在權使得向量方程 \(b\) = \(x_1a_1\) + \(x_2a_2\) 成立。

根據向量的加法和標量乘法，可將向量方程寫做方程組

$\begin{cases} x_1+x_2 = 7\\ -2x_1+5x_2 = 4\\ -5x_1+6x_2 = -3 \end{cases}$ 對上面的方程組運用行化簡算法，來解出結果 $\left[ \begin{matrix} 1 & 2 & 7\\ -2 & 5 & 4\\ -5 & 6 & -3\end{matrix} \right]$ ~ $\left[ \begin{matrix} 1 & 2 & 7\\ 0 & 9 & 18\\ 0 & 16 & 32\end{matrix} \right]$ ~ $\left[ \begin{matrix} 1 & 2 & 7\\ 0 & 1 & 2\\ 0 & 1 & 2\end{matrix} \right]$ ~ $\left[ \begin{matrix} 1 & 0 & 3\\ 0 & 1 & 2\\ 0 & 0 & 0\end{matrix} \right]$ 解出$x_1$ = 3和$x_2$ = 2，所以$b$就是$a_1$和$a_2$的線性組合，權爲$x_1$ = 3和$x_2$ = 2，這樣的步驟是爲了強行經過線性方程組做爲中介聯繫，注意看上面的例子能夠看住經過線性方程組獲得的增廣矩陣，就是$\left[ \begin{matrix} a_1 & a_2 & b\end{matrix} \right]$。

綜合上面的例子的出結論：向量方程 \(x_1a_1\) + \(x_2a_2\) + ...... + \(x_na_n\) = \(b\)和增廣矩陣爲\(\left[ \begin{matrix} a_1 & a_2 & ... & b\end{matrix} \right]\)有相同的解集。當且僅當有解是，等式成立。

Span{\(v_1\)，\(v_2\)，\(v_3\)......\(v_k\)}：
線性代數的一個主要思想就是研究能夠表示某一固定向量集合{\(v_1\)，\(v_2\)，\(v_3\)......\(v_k\)}的線性組合的全部向量，用Span{\(v_1\)，\(v_2\)，\(v_3\)......\(v_k\)}表示，稱爲由\(v_1\)，\(v_2\)，\(v_3\)......\(v_k\)生成的全部子集，也就是說Span{\(v_1\)，\(v_2\)，\(v_3\)......\(v_k\)}就是全部形如\(c_1v_1\) + \(c_2v_2\) + \(c_3v_3\) + ...... + \(c_kv_k\)的向量的合集合，判斷一個向量\(b\)是否屬於Span{\(v_1\)，\(v_2\)，\(v_3\)......\(v_k\)}，就是判斷\(c_1v_1\) + \(c_2v_2\) + \(c_3v_3\) + ...... + \(c_kv_k\) = \(b\) 是否有解。

矩陣方程\(Ax = b\)

線性代數的一個基本思想就是把向量的線性組合看做是矩陣與向量的積，在本節中將上一節的某些概念用新的方法表述。

定義：
若\(A\)是 \(m×n\)的矩陣，他的各列爲\(a_1，...，a_n\)。若\(x\)是\(R^n\)中的向量，則\(A\)於\(x\)的積，記爲\(Ax\)，就是\(A\)的各列以\(x\)中對應元素爲權的線性組合，即

$Ax = \left[ \begin{matrix} a_1 & a_2 & ... & a_n\end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} x_1 \\ x_2 \\ ... \\ x_n\end{matrix} \right] = x_1a_1 + x_2a_2 + ...... + x_na_n$ 形如上面的式子，稱爲矩陣方程，注意$Ax$僅當$A$的列數等於$x$中的元素個數時纔有定義。

到這裏咱們不難發現對於一個線性方程組，能夠將其轉換成向量方程，或是矩陣方程，據此咱們定義。

定義：
若\(A\)是 \(m×n\)的矩陣，他的各列爲\(a_1，...，a_n\)。而\(b\)屬於\(R^n\)，則矩陣方程

$Ax = b$ 與向量方程 $x_1a_1 + x_2a_2 + ...... + x_na_n = b$ 有相同的解集，他又與增廣矩陣爲 $\left[ \begin{matrix} a_1 & a_2 & ... & b\end{matrix} \right]$ 的線性方程組有相同的解集。