[LeetCode] 279. Perfect Squares 徹底平方數 LeetCode All in One 題目講解彙總(持續更新中...)

時間 2019-12-04

標籤 leetcode perfect squares 徹底平方題目講解彙總持續更新简体版

原文原文鏈接

Given a positive integer n, find the least number of perfect square numbers (for example, 1, 4, 9, 16, ...) which sum to n.html

Example 1:web

Input: n = 
Output: 3 
Explanation: 1212 = 4 + 4 + 4.

Example 2:算法

Input: n = 
Output: 2
Explanation: 1313 = 4 + 9.

Credits:
Special thanks to @jianchao.li.fighter for adding this problem and creating all test cases.數組

又是超哥一我的辛苦的更新題目，一我的托起 LeetCode 免費題的一片天空啊，贊一個~ 這道題說是給咱們一個正整數，求它最少能由幾個徹底平方數組成。這道題是考察四平方和定理，to be honest, 這是我第一次據說這個定理，天啦擼，個人數學是語文老師教的麼?! 閒話很少扯，回來作題。先來看第一種很高效的方法，根據四平方和定理，任意一個正整數都可表示爲4個整數的平方和，實際上是能夠表示爲4個之內的平方數之和，那麼就是說返回結果只有 1,2,3 或4其中的一個，首先咱們將數字化簡一下，因爲一個數若是含有因子4，那麼咱們能夠把4都去掉，並不影響結果，好比2和8,3和12等等，返回的結果都相同，讀者可自行舉更多的栗子。還有一個能夠化簡的地方就是，若是一個數除以8餘7的話，那麼確定是由4個徹底平方數組成，這裏就不證實了，由於我也不會證實，讀者可自行舉例驗證。那麼作完兩步後，一個很大的數有可能就會變得很小了，大大減小了運算時間，下面咱們就來嘗試的將其拆爲兩個平方數之和，若是拆成功了那麼就會返回1或2，由於其中一個平方數可能爲0. (注：因爲輸入的n是正整數，因此不存在兩個平方數均爲0的狀況)。注意下面的 !!a + !!b 這個表達式，可能不少人不太理解這個的意思，其實很簡單，感嘆號!表示邏輯取反，那麼一個正整數邏輯取反爲0，再取反爲1，因此用兩個感嘆號!!的做用就是看a和b是否爲正整數，都爲正整數的話返回2，只有一個是正整數的話返回1，參見代碼以下：函數

解法一：post

class Solution {
public:
    int numSquares(int n) {
        while (n % 4 == 0) n /= 4;
        if (n % 8 == 7) return 4;
        for (int a = 0; a * a <= n; ++a) {
            int b = sqrt(n - a * a);
            if (a * a + b * b == n) {
                return !!a + !!b;
            }
        }
        return 3;
    }
};

這道題遠不止這一種解法，咱們還能夠用動態規劃 Dynamic Programming 來作，咱們創建一個長度爲 n+1 的一維dp數組，將第一個值初始化爲0，其他值都初始化爲 INT_MAX, i從0循環到n，j從1循環到 i+j*j <= n 的位置，而後每次更新 dp[i+j*j] 的值，動態更新 dp 數組，其中 dp[i] 表示正整數i能少能由多個徹底平方數組成，那麼咱們求n，就是返回 dp[n] 便可，也就是 dp 數組的最後一個數字。須要注意的是這裏的寫法，i必須從0開始，j必須從1開始，由於咱們的初衷是想用 dp[i] 來更新 dp[i + j * j]，若是 i=0, j=1 了，那麼 dp[i] 和 dp[i + j * j] 就相等了，怎麼能用自己 dp 值加1來更新自身呢，參見代碼以下：優化

解法二：this

class Solution {
public:
    int numSquares(int n) {
        vector<int> dp(n + 1, INT_MAX);
        dp[0] = 0;
        for (int i = 0; i <= n; ++i) {
            for (int j = 1; i + j * j <= n; ++j) {
                dp[i + j * j] = min(dp[i + j * j], dp[i] + 1);
            }
        }
        return dp.back();
    }
};

下面再來看一種 DP 解法，這種解法跟上面有些不一樣，上面那種解法是初始化了整個長度爲 n+1 的 dp 數字，可是初始化的順序不定的，而這個種方法只初始化了第一個值爲0，那麼在循環裏計算，每次增長一個 dp 數組的長度，裏面那個 for 循環一次循環結束就算好下一個數由幾個徹底平方數組成，直到增長到第 n+1 個，返回便可，想更直觀的看這兩種DP方法的區別，建議每次循環後都打印出 dp 數字的值來觀察其更新的順序，參見代碼以下：url

解法三：spa

class Solution {
public:
    int numSquares(int n) {
        vector<int> dp(1, 0);
        while (dp.size() <= n) {
            int m = dp.size(), val = INT_MAX;
            for (int i = 1; i * i <= m; ++i) {
                val = min(val, dp[m - i * i] + 1);
            }
            dp.push_back(val);
        }
        return dp.back();
    }
};

最後咱們來介紹一種遞歸 Recursion 的解法，這種方法的好處是寫法簡潔，可是運算效率不敢恭維。咱們的目的是遍歷全部比n小的徹底平方數，而後對n與徹底平方數的差值遞歸調用函數，目的是不斷更新最終結果，知道找到最小的那個，參見代碼以下：

解法四：

class Solution {
public:
    int numSquares(int n) {
        int res = n, num = 2;
        while (num * num <= n) {
            int a = n / (num * num), b = n % (num * num);
            res = min(res, a + numSquares(b));
            ++num;
        }
        return res;
    }
};