多項式係數學習筆記

今天剛學的東西，簡單記一下

多項式係數

對於多項式\((x_1 + x_2 + x_3 + \dots + x_k) ^n\)的展開式中\(x_1^{d_1}x_2^{d_2}x_3^{d_3} \dots x_k^{d_k}\)這一項(知足\(d_1 + d_2 + d_3 + \dots + d_k = N\))的係數，記作

\({\binom{n}{d_1,d_2,d_3, \dots, d_k}} = \frac{n!}{d_1!d_2!d_3! \dots d_k!}\)

組合意義

將\(n\)個可分辨的球放到\(m\)個不一樣的盒子\(T_1, T_2, \dots T_m\)中，在\(T_i\)中放\(d_i\)個，不記盒內的次序，且知足\(\sum_{i = 1}^m d_i= N\)的方案數爲\[{\binom{n}{d_1,d_2,d_3, \dots, d_k}}\]

一道題目

給你一棵n個節點的有根樹。你要給每一個節點分配一個\(1 \sim n\)的數字，使得每一個節點分配的數字不一樣，而且每一個節點分配的數字都是它子樹內最小的。求方案數。

設\(f[i]\)表示在以\(i\)爲根的子樹內放了\(1 \sim siz[i]\)的方案數

轉移的時候，根節點確定放了\(1\)號元素

那麼

\(f[i] = \binom{siz[i] - 1} {e siz[u_1], siz[u_2], \dots siz[u_k]} \prod f_{u_i}\)

直接把\(1\)號節點的dp值展開以後獲得

\(ans = n! \prod \frac{1}{siz[i]}\)