第八個知識點：交互式的定義如何幫助計算和IP類問題是什麼

第八個知識點：交互式的定義如何幫助計算和IP類問題是什麼

這是系列中的第8篇，咱們主要討論計算中交互做用的用處和IP類問題是什麼.

爲了回答這些問題，咱們首先給交互式證實系統一個簡潔的介紹.衆所周知，零知識證實在密碼協議中十分重要.零知識的概念在這篇介紹中有 [1].這種證實的迷人之處就在於斷言的可驗證性被證實了.爲了解釋這個東西，Goldwasser， Micali和Rackoff在經典證實系統上增長兩種結構變成了交互式證實系統.第一個結構是隨機化(randomisation)，也就是說證實的結果多是錯的，可是這種錯誤只能以很小的機率出現.第二個結構就是像它名字那樣，就是交互性(interaction)，靜態證實系統被動態的證實代替，動態證實將於驗證程序交互並給出斷言是否爲真.結合這兩種結構的經典證實系統就是一個巨大的複雜類問題---IP.

什麼是證實

不嚴謹的說，一個證實就是一我的能讓另外一我的相信的方法.這兩我的在證實系統中叫prover和verifier.

經典的證實

一個經典的數學證實系統就是固定的一些陳述語句的排列.這些排列被prover寫下來，而後verifier一步一步的判斷這些陳述語句的正確性.這個過程是沒有交互的.

任何證實系統應該有下面的屬性:

• 有效性 證實應該是有效率的.
• 穩定性 對於錯誤的命題，很難有不合法的證實
• 完整性 對任何正確的命題都應該有一個證實

回顧NP複雜類問題被看做是一類語言.它的成員都具備能夠輕鬆檢查的證書(注:這裏建議讀讀NP的另外一種定義，清晰的解釋了這個證書是啥.).所以NP剛好就是一類經典證實的語言.

交互式證實系統

在一個交互式證實系統裏，prover和verifier被容許交互式的交換信息.在引入交互證實的概念以前，咱們來給出一個例子來解釋交互式證實系統是怎麼工做的.

例子:圖的同構和圖的非同構

兩個圖G和H被叫作同構的，若是G的節點能夠從新排列使得它能夠和H節點相同.咱們定義下面這類語言:

\(ISO = \{ <G,H>| G\space and\space H\space are \space isomorphic\space graphs \}\)

ISO是NP類的語言.儘管節點的數量可能很是大，可是咱們能很是容易的驗證這個問題.

而後咱們考慮ISO問題的補，即Non-isomorphism問題，就是定義語言:

\(NOISO = \{ <G,H>| G\space and\space H\space are\space not \space isomorphic\space graphs \}\)

問題是，使用經典的證實咱們如何給verifier證實G和H不是同構的.咱們不知道如何提供一個短的證實，多項式時間沒法對每一個狀況進行檢查.由於咱們不知道如何證實NOISO在NP中.然而在考慮到交互式證實，prover能夠說服verifier，這兩個圖是不一樣構的(多項式時間內).

prover和verifier都有一對圖\((G_1，G_2)\)做爲初始輸入.verifier隨機的選擇一個隨機比特(bit)\(b \in \{ 0，1\}\)和一個排列\(\pi\).而後將\(\pi\)應用到\(G_b\)獲得一個圖\(H\).(這裏意思就是說\(H\)和\(G_b\)同構)verifier發送\(H\)給prover.而後prover在收到\(H\)以後，prover發送一比特\(b^{'} \in \{0，1\}\)給verifier.最後verifier接受當且僅當\(b^{'}=b\).

在協議背後的觀點就是，若是被給的\((G_1，G_2)\)不是同構的，那麼prover應該可以肯定\(H\)是來自於\(G_1\)或者\(G_2\)的.然而，若是輸入的兩個圖是同構的，那麼儘管有着無限的計算能力，prover最好的選擇就是隨機的猜\(b^{'}\).這種狀況下，prover至少1/2的接受.

從上面的例子中，咱們總結NOISO不能被verifier用一個古典的證實系統證實.可是它能夠被一個交互的證實系統證實.咱們能看到交互的力量.

如今咱們給出交互式證實系統的定義和IP複雜類的定義.

交互式證實系統:一對交互機\((P，V)\)被叫作\(L\)語言的交互式證實系統，若是V是多項式時間的，(P的計算能力是無限的)，和如今的條件知足:

• 完整性:對全部的\(x \in L\)，\(Pr[<P,V> (x)=1] \ge 2/3\)
• 穩定性:對全部的\(x \in L\)，\(Pr[<P,V>(x)=1] \le 1/3\)

IP類複雜問題:IP類問題包含全部交互式證實系統能證實的語言.

經過定義，在BPP語言中的全部語言都在IP中.若是咱們限制交換的信息的數量爲1，那麼這就是IP中的NP類問題.實際上，IP是一個很大的類.在1992年，Shamir證實了\(PSPACE = IP\)[3].

額外的，注意到協議prover應該拋出私有的硬幣，若是prover被容許訪問verifier的隨機字符串，就會致使使用共有硬幣的交互式證實，這種模型和AM複雜類[4]很像.

[1] http://dl.acm.org/citation.cfm?id=63434

[2] http://www.amazon.co.uk/Introduction-Theory-Computation-Michael-Sipser/dp/0619217642

[3] http://dl.acm.org/citation.cfm?doid=146585.146609

[4] http://en.wikipedia.org/wiki/Arthur%E2%80%93Merlin_protocol