【CSA49F】【XSY3317】card 博弈論 DP

題目大意

　　不會博弈論的 yww 在和博弈論大師 yxq 玩一個遊戲。

　　有 \(n\) 種卡牌，第 \(i\) 種卡牌有 \(b_i\) 張。

　　yww 會先把全部 \(B=\sum_{i=1}^nb_i\) 張卡分紅兩堆，每堆 \(\frac{B}{2}\) 張。保證 \(B\) 是偶數。

　　他們會輪流從第一堆中取卡牌，每次取一張，yww 先取，直到取完爲止。

　　而後他們會輪流從第二堆中取卡牌，每次取一張，yxq 先取，直到取完爲止。

　　取完卡牌後，他們會計算本身的得分。假設某人在某一堆中取了 \(x\) 張第 \(i\) 種卡牌，那麼就能得到 \(\lfloor\frac{x}{a_i}\rfloor c_i\) 分。

　　每一個人的最終得分是這我的在兩堆中的得分之和。

　　yxq 想最小化 yww 的得分。

　　做爲一名博弈論大師，yxq 每步都會執行最優策略。

　　yww 不會博弈論，因此請你幫 yww 求出他最多能得到多少分。

　　記 \(A=\sum_{i=1}^na_i,B=\sum_{i=1}^nb_i\)；

　　\(1\leq a_i\leq A\leq 2000,1\leq b_i\leq B\leq 500000,2\mid B,1\leq n\leq 2000,1\leq c_i\leq 3000\)；

題解

　　考慮對於一堆牌，yww 先手，他能得到多少分。

　　對於一種牌 \(i\)，若是 \(b_i\equiv -1 \pmod {2a_i}\)，那麼先開始拿這種牌的人能夠拿到 \(\lfloor \frac{b_i}{2a_i}\rfloor+1\) 張，其餘狀況都只能拿到 \(\lfloor\frac{b_i}{2a_i}\rfloor\) 張。

　　記 \(b_i\equiv -1 \pmod {2a_i}\) 的牌爲特殊的牌，按照 \(c_i\) 從大到小排序，記爲 \(d_1,d_2,\ldots,d_k\)，那麼最終先手的得分是 \(\sum\limits_i \lfloor\frac{b_i}{2a_i}\rfloor c_i+\sum\limits_{2\nmid i} c_{d_i}\)，後手的得分是 \(\sum\limits_i \lfloor \frac{b_i}{2a_i}\rfloor c_i+\sum\limits_{2\mid i} c_{d_i}\)。

　　這樣就能夠設計DP狀態了：

　　\(f_{i,j,p1,p2}\) 爲前 \(i\) 種牌，第一堆分了 \(j\) 張，第一堆有 \(p1\) 種特殊的牌，第二堆有 \(p2\) 種特殊的牌，yww 的最大收益。

　　轉移時枚舉第 \(i\) 種牌分多少到第一堆。

　　複雜度爲 \(O(B^2)\)。

　　注意到收益只與每種牌分到第一堆的牌數 \(\bmod {2a_i}\) 有關，那麼DP的時候就能夠只枚舉 模 \(2a_i\) 的值就行了。

　　還有一個問題，第一堆牌能不能湊出 \(\frac{B}{2}\) 張？

　　對於一種牌，假設咱們把 \(k\) 張牌放到了第一堆，那麼有 \(\lfloor\frac{b_i-k}{2a_i}\rfloor\) 組 \(2a_i\) 張牌能夠隨意分配。這個東西等於 \(\lfloor\frac{b_i}{2a_i}\rfloor\) 或 \(\lfloor\frac{b_i}{2a_i}\rfloor -1\)。咱們僞裝它等於 \(\lfloor\frac{b_i}{2a_i}\rfloor -1\)。

　　只可能有 \(O(\sqrt{A})\) 種不一樣的 \(a_i\)，隨便DP一下就行了。

　　記 \(g_{i,j}\) 爲用了前 \(i\) 種 \(a_i\) 組出 \(j\) 張卡牌，第 \(i\) 種 \(a_i\) 最少要多少份（每份 \(2a_i\) 張）（\(-1\) 表示組不出）。

　　時間複雜度爲 \(O(A^2+B\sqrt A)\)

代碼

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cstdlib>
#include<ctime>
#include<functional>
#include<cmath>
#include<vector>
#include<assert.h>
//using namespace std;
using std::min;
using std::max;
using std::swap;
using std::sort;
using std::reverse;
using std::random_shuffle;
using std::lower_bound;
using std::upper_bound;
using std::unique;
using std::vector;
typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
typedef double db;
typedef std::pair<int,int> pii;
typedef std::pair<ll,ll> pll;
void open(const char *s){
#ifndef ONLINE_JUDGE
    char str[100];sprintf(str,"%s.in",s);freopen(str,"r",stdin);sprintf(str,"%s.out",s);freopen(str,"w",stdout);
#endif
}
void open2(const char *s){
#ifdef DEBUG
    char str[100];sprintf(str,"%s.in",s);freopen(str,"r",stdin);sprintf(str,"%s.out",s);freopen(str,"w",stdout);
#endif
}
int rd(){int s=0,c,b=0;while(((c=getchar())<'0'||c>'9')&&c!='-');if(c=='-'){c=getchar();b=1;}do{s=s*10+c-'0';}while((c=getchar())>='0'&&c<='9');return b?-s:s;}
void put(int x){if(!x){putchar('0');return;}static int c[20];int t=0;while(x){c[++t]=x%10;x/=10;}while(t)putchar(c[t--]+'0');}
int upmin(int &a,int b){if(b<a){a=b;return 1;}return 0;}
int upmax(int &a,int b){if(b>a){a=b;return 1;}return 0;}
const int N=2010;
const int M=500010;
int f[N][2][2][4*N];
int s[N];
int qs[N];
int c[M];
int g[M];
struct info
{
    int a,q,v;
};
info a[N];
int cmp(info a,info b)
{
    return a.v>b.v;
}
int n;
int main()
{
    open("49F");
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<=n;i++)
        scanf("%d%d%d",&a[i].a,&a[i].q,&a[i].v);
    sort(a+1,a+n+1,cmp);
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        s[i]=s[i-1]+4*a[i].a;
        qs[i]=qs[i-1]+a[i].q;
    }
    memset(f,0x80,sizeof f);
    f[0][0][0][0]=0;
    for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int l1=0;l1<=1;l1++)
            for(int l2=0;l2<=1;l2++)
            {
                int x=a[i].q/(2*a[i].a)-1;
                for(int k=0;k<=a[i].q;k++)
                {
                    int v1=k/(2*a[i].a);
                    int v2=(a[i].q-k)/(2*a[i].a);
                    if(v2<x)
                        break;
                    int temp=(v1+v2)*a[i].v;
                    int p1=l1,p2=l2;
                    if(v1*2*a[i].a+2*a[i].a-1==k)
                    {
                        p1?0:temp+=a[i].v;
                        p1^=1;
                    }
                    if(v2*2*a[i].a+2*a[i].a-1==a[i].q-k)
                    {
                        p2?temp+=a[i].v:0;
                        p2^=1;
                    }
                    for(int j=0;j<=s[i-1];j++)
                        f[i][p1][p2][j+k]=max(f[i][p1][p2][j+k],f[i-1][l1][l2][j]+temp);
                }
            }
    for(int i=1;i<=n;i++)
        if(a[i].q/(2*a[i].a)-1>0)
            c[a[i].a]+=a[i].q/(2*a[i].a)-1;
    memset(g,-1,sizeof g);
    g[0]=0;
    for(int i=1;i<=s[n];i++)
        if(c[i])
        {
            for(int j=0;j<=qs[n];j++)
                if(~g[j])
                    g[j]=0;
                else if(j>=2*i&&(g[j-2*i]>=0&&g[j-2*i]<c[i]))
                    g[j]=g[j-2*i]+1;
                else
                    g[j]=-1;
        }
    int ans=0;
    for(int i=0;i<=s[n]&&i<=qs[n]/2;i++)
        if(~g[qs[n]/2-i])
            for(int i1=0;i1<=1;i1++)
                for(int i2=0;i2<=1;i2++)
                    ans=max(ans,f[n][i1][i2][i]);
    printf("%d\n",ans);
    return 0;
}