博弈論總結（只會打表，永不證實）（博弈論）

概述

博弈論的研究對象是一類遊戲，有特定的模型。

基礎模型——先手必勝仍是後手必勝？

好像有個專門的名詞叫作Impartial Combinatorial Games（簡稱ICG）

大概的定義以下：

整個遊戲能夠抽象成一個DAG；

每一個點都表明遊戲過程當中的某個決策狀態（特殊的，出度爲0的點是遊戲的終止狀態）；

每條邊都表示能夠從某個狀態，通過直接的一次操做，轉移到另外一個狀態。

有兩個玩家，從指定的某個狀態開始，依次執行操做，誰先由於當前到達了終止狀態而沒法操做的人輸。

由於是DAG，因此必定會轉移到終止狀態的。

問題就是，從某狀態開始，先手必勝仍是後手必勝？

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舉個栗子——Nim遊戲的一個變種

有一堆$n$個石子，每次能夠取$1-k$個，當前沒法操做的人輸，問是否先手存在必勝策略？

對於這種問題，對於以每一個狀態爲起點的狀況，咱們都會惟一肯定是先手必勝仍是後手必勝。

這應該是很好想，幾乎不用證實的。

能夠對每一個點標記兩種狀態N和P，分別表示先手必勝和後手必勝

首先根據定義，終狀態爲P

而後，全部能直接到達終狀態的狀態就爲N了

進一步推廣，若是某點的出邊指向的點的集合中，有至少一個點爲P，那麼這個點爲N；不然就爲P。

好比對於上面提到的栗子

對每一個狀態都標號爲當前剩餘石子數

那麼$0$是P，$1-k$就都是N，$k+1$是P。。。。。。

接着就能夠推出當且僅當$(k+1)\mid a$時a是P。

對於這種基礎的問題，枚舉狀態建好圖後DP或者記憶化搜索就能夠快速解決了。

模型升級——SG函數與SG定理

博弈論所涉及到的更多的遊戲，會把若干ICG拼湊在一塊兒，成爲一個規模更大的模型。

好比說上面那個Nim遊戲變種的升級版——

有$n$堆石子，每堆$a_i$個，每次能夠取$1-k$個，當前沒法操做的人輸，問是否先手存在必勝策略？

這時候，若是仍沿用上面的方法求解，咱們會發現狀態維度很大，時間和空間根本承受不了。

這裏介紹SG函數與SG定理，詳細證實就算了，我太弱了。

strangedbly巨佬的博客給出了十分易懂的證實，我的力薦。

定義運算$mex(S)$（S是一個天然數集合），結果爲S中未出現的最小天然數。

定義$SG(i)$（i是一個狀態，在圖中是一個點）爲對全部$i$可直達狀態（在圖中與i經過有向邊鏈接的全部點）的SG函數值取mex的值，即。

$$SG(i)=mex({j\mid SG(j),(i,j)\in G})$$

定義SG定理：點$i$爲P當且僅當$SG(i)=0$

若干ICG（能夠不相同）組合在一塊兒的遊戲，把每一個遊戲的SG值異或起來，不爲0則先手必勝。

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接着對例子分析一下。

能夠發現，對於單堆石子來講，剩零個時$SG$值爲$0$，剩一個時爲$1$。。。剩$k$個爲$k$，剩$k+1$個時由於不能轉移到零個，$SG$值又變成了$0$。。。。。。

這能夠說明SG函數對於判斷狀態爲N仍是P是很是有效的。

那麼對於若干堆石子（即整個升級版遊戲）來講，勝負又會如何呢？只要把這若干個$SG$值都異或起來就徹底OK啦。

#實現

簡單的ICG可直接經過遞推、DP等方法推導出全部點的狀態。固然，若是找到規律，能夠直接$O(1)$判斷都說很差。

多個ICG的組合遊戲，則必定是離不開SG函數的。

但假如點很是多，或者每一個點的後繼肯定起來很是麻煩的時候，DP是不能解決問題的。

那怎麼辦？那確定是有規律啊！一眼看不出規律怎麼辦？可別忘了打表啊！

固然，打表也是有技巧的。至於如何如何，蒟蒻也說不出什麼門道來，仍是多刷題爲上上策。

#題目

• 【Done】洛谷P2197 nim遊戲
• 【Sol.】洛谷P2148 [SDOI2009]E&D
• 【Todo】洛谷P2575 高手過招
• 【Todo】洛谷P2594 [ZJOI2009]染色遊戲
• 【Todo】洛谷P3185 [HNOI2007]分裂遊戲