拉格朗日乘子法原理（裝載）

高數裏面有一個內容叫作拉格朗日乘子法，用於求解約束條件下的極值問題，過程簡單巧妙，也是各種考試的常考題型。

然而，拉格朗日乘子法的原理我卻一直不是很清楚，這兩天在網上查了資料，也說說我本身的理解，用一個例子來解釋。

 

求解例題以下：

　　(1)

其中min表示求函數f(x,y)的最小值，後面的s.t.表示約束條件，即x,y知足後面的等式。

下面咱們使用拉格朗日乘子法來求解，咱們用g(x,y)描述約束條件，將約束條件改寫爲

　　(2)

然後咱們引入拉格朗日乘子λ，並構造一個新的函數

　　(3)

根據約束條件g(x,y)=0，因而h(x,y)=f(x,y)，所以當f(x,y)取得極小值時有

　　(4)

聯立求解方程組獲得

　　(5)

因而咱們獲得x=y=1時，f(x,y)取得最小值，最小值爲2，這就是拉格朗日乘子法的求解過程。

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拉格朗日乘子法很是巧妙，但其中的原理卻難以琢磨，從幾何角度觀察此題咱們能夠更加直觀地理解拉格朗日乘子法的原理以及這個乘子λ的幾何含義。

首先咱們觀察約束條件g(x,y)=0，在x,y平面上是一條直線以下圖中的藍色直線所示。

 再看f(x,y)，令f(x,y)=r這表示f(x,y)的某一條等高線，隨着r的改變咱們獲得了多條等高線，在下圖中以綠色圓圈表示。

在圖中，若是某一條等高線f(x,y)=r與直線g(x,y)=0相交，則表示在g(x,y)=0的約束條件下，f(x,y)能夠取到r的值。爲了求得f(x,y)的最小值，在保證綠色圓圈f(x,y)=r與藍色直線g(x,y)=0有交點的前提下，逐漸將r縮小，直到綠色等高線圓小到與藍色直線相切，此時r₀最小，咱們認爲f(x,y)得到了最小值f_min=r₀。

下面咱們來計算f_min，在圖中咱們看到等高線圓f(x,y)=r₀與約束直線g(x,y)=0相切。此時在切點處，等高線圓與約束直線具備相同的切線方向與法線方向。

又由於等高線f(x,y)=r的切線方向與f(x,y)在該點的梯度方向相互正交，因而f(x,y)=r的法線方向便是f(x,y)的梯度方向，而該梯度方向爲

　　(6)

同理直線g(x,y)=0的法線方向也就是g(x,y)的梯度方向

　　(7)

在切點處G_f與G_g的方向相同，所以咱們引入乘子λ，而且有

　　(8)

上式與式(4)相同。到此咱們也已經得到了與拉格朗日乘子法相一致的結論。因而咱們從幾何角度解釋了拉格朗日乘子引入的過程，也驗證了拉格朗日乘子法的結論。