數學分析筆記4：一元函數微分學

導數與微分

導數的定義與性質

定義4.1 $f(x)$在 $x_0$的某個鄰域上有定義，若是極限 $\lim_{x\to x_0}{\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}}$存在，則稱 $f(x)$在 $x_0$處可導，該極限稱爲 $f(x)$在 $x_0$處的導數，記爲 $f^{\prime}(x_0)$，進一步地，若是 $f(x)$在區間 $I$的每個點均可導，那麼 $f^{\prime}(x)$就是區間 $I$上的函數，稱爲 $f(x)$在 $I$上的導函數，簡稱導數

定理4.1 $f(x)$在 $x_0$處可導，那麼 $f(x)$在 $x_0$處連續

證：
$f(x)$在 $x_0$處可導，那麼極限 $\lim_{x\to x_0}{\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}}$存在，而 $\lim_{x\to x_0}{(x-x_0)}=0$所以，就有 $\lim_{x\to x_0}{(f(x)-f(x_0))}=\lim_{x\to x_0}{\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}(x-x_0)}=\lim_{x\to x_0}{\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}}.\lim_{x\to x_0}{(x-x_0)}=0$所以， $f(x)$在 $x_0$處連續

但連續函數不必定可導，甚至連續函數可能到處不可導。
定義4.2 $f(x)$在 $x_0$的某個右(左)半鄰域有定義，若是極限 $\lim_{x\to {x_0}^{+}}{\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}} (\lim_{x\to {x_0}^{-}}{\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}})$存在， $f(x)$在 $x_0$處的右(左)導數存在，該極限值稱爲 $f(x)$在 $x_0$處的右(左)導數，記爲 $f^{\prime +}(x_0)(f^{\prime -}(x_0))$

根據左右極限和函數極限的關係，有
定理4.2 $f(x)$在 $x_0$處可導的充分必要條件是 $f(x)$在 $x_0$處的左右導數存在且相等

下面，咱們來證實導數的一些運算法則：
定理4.3
(1) $f(x)$和 $g(x)$在 $x_0$處可導，則 $f(x)+g(x)$在 $x_0$處可導，而且 $f(x)+g(x)$在 $x_0$處的導數爲 $f^{\prime}(x_0) +g^{\prime}(x_0)$
(2) $f(x)$在 $x_0$處可導，則對任意的實數 $c$， $cf(x)$在 $x_0$處可導，而且 $cf(x)$在 $x_0$處的導數爲 $cf^{\prime}(x_0)$
(3) $f(x)$和 $g(x)$在 $x_0$處可導，則 $f(x)g(x)$在 $x_0$處可導，而且 $f(x)g(x)$在 $x_0$處的導數爲 $f(x_0)g^{\prime}(x_0)+f^{\prime}(x_0)g(x_0)$
(4) $f(x)$和 $g(x)$在 $x_0$處可導，而且 $g(x_0)\neq 0$，則 $\frac{f(x)}{g(x)}$在 $x_0$處可導， $\frac{f(x)}{g(x)}$在 $x_0$處的導數爲 $\frac{f^{\prime}(x_0)g(x_0)-g^{\prime}(x_0)f(x_0)}{g^{2}(x_0)}$

證：
(1)(2)由極限的四則運算法則是顯然的，僅證(3)(4)
(3)考察變化率 $\begin{aligned} \frac{ f(x)g(x) - f(x_0)g(x_0) }{ x-x_0 } =\frac{ f(x)g(x) - f(x_0)g(x) + f(x_0)g(x) - f(x_0)g(x_0) }{ x-x_0 }\\ =g(x)\frac{ f(x) - f(x_0) }{ x - x_0 } + f(x_0) \frac{ g(x)-g(x_0) }{x - x_0}\\ \end{aligned}$再由 $g(x)$在 $x_0$處連續，令 $x\to x_0$，便可證得結論
(4)先證實 $(\frac{1}{g(x)})^{\prime}(x_0) =-\frac{ g^{\prime}(x_0) }{ g^{2}(x_0) }$考察變化率函數 $\begin{aligned} \frac{ \frac{1}{g(x)} - \frac{1}{g(x_0)} }{x-x_0} =-\frac{g(x)-g(x_0)}{ g(x)g(x_0)(x-x_0) } \end{aligned}$由 $g(x)$的連續性及在 $x_0$處的可導性，兩邊對 $x\to x_0$取極限便可證得
在應用(3)的結論就能夠證得(4)

複合函數也有相應的求導法則
定理4.4 $f(x)$在 $x_0$處可導， $g(y)$在 $y_0=f(x_0)$處可導，則 $g(f(x))$在 $x_0$處可導， $g(f(x))$處導數爲 $f^{\prime}(x_0)g^{\prime}(f(x_0))$

證：
考察變化率函數 $\frac{ g(f(x))-g(f(x_0)) }{ x-x_0 }$因爲可能在每一個 $x_0$的去心鄰域上，均可能存在 $x$， $f(x)=f(x_0)$，
咱們不能替換成： $\frac{ g(f(x))-g(f(x_0)) }{ x-x_0 } =\frac{ g(f(x))-g(f(x_0)) }{ f(x)-f(x_0) } \frac{ f(x)-f(x_0) }{ x-x_0 }$進行證實，實際上，對 $f(x)=f(x_0)$的點，咱們補充一個定義 $F(x)= \begin{cases} g^{\prime}(y_0)&f(x)=f(x_0)\\ \frac{ g(f(x))-g(f(x_0)) }{ f(x)-f(x_0) }& f(x)\neq f(x_0) \end{cases}$這樣， $g(f(x)) - g(f(x_0)) =F(x)(f(x)-f(x_0))$就有 $\frac{ g(f(x)) - g(f(x_0)) }{x - x_0} =F(x) \frac{ f(x)-f(x_0) }{x-x_0}$而 $F(x)-F(x_0)= \begin{cases} 0 & f(x)=f(x_0)\\ \frac{ g(f(x))-g(y_0) }{ f(x)-y_0} -g^{\prime}(y_0) & f(x)\neq f(x_0) \end{cases}$ $\forall \varepsilon>0$, $\exists \delta_1>0$， $0<|y-y_0|<\delta_1$時， $|\frac{g(y)-g(y_0)}{y-y_0} - g^{\prime}(y_0)|<\varepsilon$ $\exists \delta_2>0$, $0<|x-x_0|<\delta_2$時， $|f(x)-y_0|<\delta_1$
若是 $f(x)\neq y_0$ $|\frac{g(f(x))-g(y_0)}{f(x)-y_0} - g^{\prime}(y_0)|<\varepsilon$綜上， $0<|x-x_0|<\delta_2$都有 $|F(x)-F(x_0)|<\varepsilon$成立， $F(x)$在 $x_0$處連續。對(\ref{eq6})兩邊取極限，就能夠證得結論

定理4.5 $f(x)$在 $x_0$附近上嚴格單調並在 $x_0$可導， $f^{\prime}(x_0)\neq 0$，則反函數 $f^{-1}(y)$在 $y_0=f(x_0)$也可導，而且 $f^{-1 \prime}(y_0) = \frac{1}{f^{\prime}(x_0)}$

證：
考察變化率函數 $\frac{ f^{-1}(y)-f^{-1}(y_0) }{y-y_0} =\frac{1} { \frac{y-y_0}{ f^{-1}(y)-f^{-1}(y_0) } }\\ =\frac{1} { \frac{ f(f^{-1}(y))-f(f^{-1}(y_0)) }{ f^{-1}(y)-f^{-1}(y_0) } }$而 $\lim_{y\to y_0}{ \frac{ f(f^{-1}(y))-f(f^{-1}(y_0)) }{ f^{-1}(y)-f^{-1}(y_0) } } =f^{\prime}(f^{-1}(y_0))$兩邊取極限能夠證得結論

初等函數的導數

例4.1 $(\sin{x})^{\prime} = \cos{x}$

證：
$\begin{aligned} \lim_{\Delta x \to 0} { \frac { \sin{(x+\Delta x)} - \sin{x} } {\Delta x} } =\lim_{\Delta x \to 0}{ \frac{ \sin{\Delta x}\cos{x} + \cos{\Delta x}\sin{x} - \sin{x} } {\Delta x} }\\ =\lim_{\Delta x \to 0}{ \frac{ \sin{\Delta x}\cos{x} +\sin{x}(\cos{\Delta x}-1) } {\Delta x} } =\cos{x}\lim_{\Delta x \to 0}{ \frac{\sin{\Delta x}} {\Delta x} }+\sin{x}\lim_{\Delta x \to 0}{ \frac{\cos{\Delta x}-1} {\Delta x} } =\cos{x} \end{aligned}$

例4.2 $(\cos{x})^{\prime} = -\sin{x}$

證：
$\begin{aligned} \lim_{\Delta x\to 0}{ \frac{\cos{x+\Delta x}-\cos{x}} {\Delta x} } =\cos{x}\lim_{\Delta x\to 0}{ \frac{\cos{\Delta x}-1} {\Delta x} }-\sin{x}\lim_{\Delta x\to 0}{ \frac{\sin{\Delta x}} {\Delta x} } =-\sin{x} \end{aligned}$

這樣，其餘三角函數的導數也能夠求出來：
例4.3
$(\tan{x})^{\prime}=( \frac{\sin{x}} {\cos{x}} )^{\prime}= \frac{ (\sin{x})^{\prime}\cos{x} -(\cos{x})^{\prime}\sin{x} } {\cos^{2}x}= \frac{1} {\cos^{2}x}$
例4.4
$(\arcsin{x})^{\prime}=\frac{1} {\cos{\arcsin{x}}} =\frac{1} {\sqrt{1-\sin^2{\arcsin{x}}}} =\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$一樣地，有 $(\arccos{x})^{\prime} = -\frac{1} {\sqrt{1-x^2}}$

例4.5 由三角函數等式： $1+\tan^2{x}=\sec^2{x}=\frac{1} {\cos^2{x}}$ $(\arctan{x})^{\prime} = \frac{1} {\tan^{\prime}(\arctan{x})} =\cos^2(\arctan{x})= \frac{1} {1+\tan^2{\arctan{x}}} =\frac{1}{1+x^2}$

這樣，三角函數和反三角函數的導數都是有解析表達式的。
例4.6 指數函數的導數： $(a^x)^\prime = a^x\ln{a}$對數函數的導數： $(\log_{a}{x})^{\prime} = \frac{1}{x\ln{a}}$

證：
$\lim_{\Delta x \to 0}{ \frac{a^{x+\Delta x}-a^x} {\Delta x} }=a^x\lim_{\Delta x \to 0}{ \frac{a^{\Delta x}-1} {\Delta x} } =a^x\lim_{\Delta x \to 0}{ \frac{e^{\Delta x\ln{a}}-1} {\Delta x} }=a^x\lim_{\Delta x \to 0}{ \frac{\Delta x\ln{a}} {\Delta x} }=a^x\ln{a}$從而對數的函數的導數爲 $(\log_{a}{x})^{\prime} = \frac{1} {a^{\log_{a}{x}}\ln{a} } = \frac{1}{x\ln{a}}$特別地， $(e^x)^\prime = e^x$ $(\ln{x})^{\prime} = \frac{1}{x}$

例4.6 冪函數的導數： $x>0$時， $(x^\alpha)^\prime = \alpha x^{\alpha -1}$

證：
$\lim_{\Delta x\to 0}{ \frac{(x+\Delta x)^\alpha - x^\alpha} {\Delta x} }= x^{\alpha}\lim_{\Delta x \to 0}{ \frac{ (1+\frac{\Delta x}{x})^\alpha -1 } {\Delta x} }=x^\alpha \lim_{\Delta x\to 0}{ \frac{\alpha \frac{\Delta x}{x}} {\Delta x} }=\alpha x^{\alpha -1}$

微分與導數的關係

導數有着明確的幾何意義，有了導數，咱們就能夠在局部，把一個複雜的函數視爲是線性函數。
定義4.2 $f(x)$在 $x_0$附近有定義，若是 $f(x)$在 $x_0$附近可表爲 $f(x)=f(x_0)+A\Delta x + o(\Delta x)$其中， $\Delta x = x - x_0$， $A$是與 $x$無關的常數，則稱 $f(x)$在 $x_0$處可微，線性函數 $df(x)=A\Delta x$稱爲是 $f(x)$在 $x_0$處的微分

若是 $f(x)$在 $x_0$處可微，當 $\Delta x$足夠小時，就能夠近似地認爲 $f(x)\approx f(x_0)+A\Delta x$
定理4.6 $f(x)$在 $x_0$處可微的充要條件是 $f(x)$在 $x_0$處可導，而且 $df(x) = f^{\prime}(x_0)\Delta x$

咱們稱 $y=f(x_0)+f^{\prime}(x_0)(x-x_0)$是曲線 $y=f(x)$在 $x_0$處的切線，那麼導數 $f^{\prime}(x_0)$就是切線的斜率。

證：
必要性，若是 $f(x)$在 $x_0$處可微，有 $f(x)-f(x_0)=A(x-x_0)+o(x-x_0)$兩邊除以 $x-x_0$，再令 $x\to x_0$，就有 $A=f^{\prime}(x_0)$
充分性，若是 $f(x)$在 $x_0$處可導，則 $\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} - f^{\prime}(x_0)$是 $x\to x_0$過程的無窮小量，即 $\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} - f^{\prime}(x_0) = \alpha$其中， $\alpha$是 $x\to x_0$過程的無窮小量，就能夠獲得 $f(x)-f(x_0)=f^{\prime}(x_0)(x-x_0)+(x-x_0)\alpha =f^{\prime}(x_0)(x-x_0)+o(x-x_0)$

高階導數

一樣地，咱們能夠定義導數的導數，導數的導數的導數， $\cdots$。記 $f^{(k)}$爲k階導數，表示對 $f(x)$求k次導數。高階導數的計算經常要使用數學概括法，下面咱們給出若干例子。
例4.7 $f(x),g(x)$對 $x_0$有直到 $n$階導數，則 $(fg)^{(n)} = \sum_{k=0}^{n}{C_n^k f^{(k)}g^{(n-k)}}$

證：
用數學概括法證實：首先 $n=1$時結論是成立的。
假設 $n=m$時結論是成立的。即若是 $f(x),g(x)$對 $x_0$有直到 $m$階導數，則 $(fg)^{(m)} = \sum_{k=0}^{m}{C_m^k f^{(k)}g^{(m-k)}}$假設 $f(x),g(x)$對 $x_0$有直到 $m+1$階導數，那麼 $(fg)^{(m)} = \sum_{k=0}^{m}{C_m^k f^{(k)}g^{(m-k)}}$因而有 $(fg)^{(m+1)}=((fg)^{(m)})^{\prime} =\sum_{k=0}^{m}{C_m^k (f^{(k+1)}g^{(m-k)} + f^{(k)}g^{(m-k+1)})}\\ =\sum_{k=1}^{m+1}{C_m^{k-1} f^{(k)}g^{(m-k+1)}} +\sum_{k=0}^{m}{C_m^k f^{(k)}g^{(m-k+1)}}\\ =C_m^0 f^{(0)}g^{(m+1)}+C_m^m f^{(m+1)}g^{(0)} +\sum_{k=1}^{m}{(C_m^k+C_m^{k-1}) f^{(k)}g^{(m-k+1)}}\\ =C_{m+1}^0 f^{(0)}g^{(m+1)}+C_{m+1}^{m+1} f^{(m+1)}g^{(0)} +\sum_{k=1}^{m}{C_{m+1}^k f^{(k)}g^{(m-k+1)}}$由數學概括法，對任意的 $n\ge 1$等式都成立。

例4.7的公式稱爲萊布尼茲公式。另外，由導數的線性性質，高階導數也是線性運算。
例4.8 由概括法一樣能夠證實： $(\cos{x})^{(k)}=\cos{(x+\frac{k\pi}{2})}$ $(\sin{x})^{(k)}=\sin{(x+\frac{k\pi}{2})}$

例4.9 求 $\arctan{x}$的 $n$階導數

解：令 $y(x)=\arctan{x}$，由反函數的求導法則，有 $y^{(1)}(x)=\cos^2{y(x)}$由複合函數求導法則，再求二階導： $y^{(2)}(x) =-2\sin{y(x)}\cos^3{y(x)}=-\cos^2{y(x)}\sin{2y(x)}$再求三階導 $y^{(3)}(x) =-y^{\prime}(x) [-2\cos{y(x)}\sin{y(x)}\sin{2y(x)}+2\cos^2{y(x)}\cos{2y(x)}]\\ =-2\cos{y(x)}y^{\prime}(x)\cos{3y(x)} =-2\cos^3{y(x)}\cos{3y(x)}$再求多一階導就能夠發現規律 $y^{(4)}(x) =-2y^{\prime}(x) [-3\cos^2{y(x)}\sin{y(x)}\cos{3y(x)}-3\cos^3{y(x)}\sin{3y(x)}]\\ =6\cos^4{y(x)}\sin{4y(x)}$
猜測： $y^{(k)}(x)=(k-1)!\cos^k{y(x)}\sin{(ky(x)+\frac{k\pi}{2})}$再用數學概括法證實便可。

微分中值定理

三大微分中值定理

接下來咱們轉爲討論閉區間上連續，開區間上可導的函數，首先，咱們要給出一個引理。
引理4.1 $f(x)$在 $x_0$處取得極大值(極小值)，而且在 $x_0$處導數存在，則 $f^{\prime}(x_0)=0$

證：
由 $f(x)$在 $x_0$處取得極大值，存在一個 $x_0$的鄰域 $B(x_0,\delta)$，對任意的 $x\in B(x_0,\delta)$，有 $f(x)-f(x_0)\le 0$當 $x> x_0$時， $\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} \le 0$從而 $\lim_{x\to x_0^+}{\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}} =f^{\prime}(x_0) \le 0$同理，有 $\lim_{x\to x_0^-}{\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}} =f^{\prime}(x_0) \ge 0$所以, $f^{\prime}(x_0)=0$

定理4.7（羅爾定理） $f(x)$在閉區間 $[a,b]$上連續，開區間 $(a,b)$上可導，若是 $f(a)=f(b)$，則存在 $\xi \in (a,b)$, $f^{\prime}(\xi)=0$

證：
若是 $\forall x \in (a,b)$, $f(x)=f(a)=f(b)$，那麼 $f(x)$在 $(a,b)$上是常數函數，那麼結論顯然是成立
設 $M$是 $f(x)$在 $[a,b]$上的最大值， $m$是 $f(x)$在 $[a,b]$上的最小值，那麼不妨設 $m<M$， $M=f(x_1),m=f(x_2)$，同時， $x_1,x_2$至少有一個不爲端點，設 $x_1$不爲端點，那麼， $x_1$是 $f(x)$的一個極值點，那麼 $x_1$就知足條件

咱們能夠從圖中直觀地感覺羅爾定理：

由圖示，若是 $[a,b]$上的連續函數在兩邊是相等的，那麼，最值必定在中間 $(a,b)$取得，而最值點導數就爲0，將羅爾定理「旋轉」一下，就獲得拉格朗日中值定理。

定理4.8 $f(x)$在 $[a,b]$上連續， $(a,b)$上可導，則存在 $\xi \in (a,b)$， $f^{\prime}(\xi) = \frac{f(b)-f(a)}{b-a}$
在證實以前，咱們先直觀地看拉格朗日中值定理的幾何意義。

$\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$是過 $A(a,f(a)),B(b,f(b))$兩點直線的斜率，實際上，將座標軸旋轉，使得 $x$軸與該直線平行，在這個角度看 $f(x)$， $f(a)=f(b)$，所以，咱們能夠認爲拉格朗日中值定理是在另外一個座標軸視角下的羅爾定理。

證：
令 $F(x)=f(x)-f(a)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a} (x-a)$， $F(b)=F(a)=0$，由羅爾定理，存在 $\xi \in (a,b)$， $F^{\prime}(\xi)=f^{\prime}(\xi)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=0$

爲了介紹柯西中值定理，咱們首先介紹函數的參數方程形式，實際上，對於一條曲線 $y=f(x)$，除了以函數形式表示該曲線，還能夠令 $\begin{cases} x=t\\ y=f(t) \end{cases}$來表示該條曲線。更通常地， $f(t),g(t)$是 $[a,b]$上的連續， $(a,b)$上可導的函數， $\begin{cases} x=f(t)\\ y=g(t) \end{cases}$就表示平面上的一條曲線，進一步地，咱們要求 $f(t)$的導數不爲0，那麼 $f(t)$的導數只能恆爲正或恆爲負。這可由達布中值定理證實。
定理4.9 $f(x)$在 $[a,b]$上連續， $(a,b)$上可導，若是存在兩點 $x_1,x_2\in (a,b)$， $f^{\prime}(x_1)=A<f^{\prime}(x_2)=B$，那麼對任意的 $\tau \in (A,B)$，存在介於 $x_1$和 $x_2$之間的 $\xi$， $f^{\prime}(\xi)=\tau$

證：
不妨設 $x_1<x_2$，將 $f(x)$限制在 $[x_1,x_2]$之間，令
$g(x)=f(x)-\tau x$則 $g^{\prime}(x_1)<0,g^{\prime}(x_2)>0$由極限的局部保號性， $\exists \delta_1>0$， $x_1<x<x_1+\delta_1$時 $\frac{g(x)-g(x_1)} {x-x_1}<0$從而， $g(x)<g(x_1)$， $x_1$不是 $g(x)$在 $[x_1,x_2]$上的最小值點。一樣 $x_2$也不是 $g(x)$在 $[x_1,x_2]$上的最小值點。設 $\xi$是 $g(x)$在 $[x_1,x_2]$上的最小值點，則 $x_1<\xi<x_2$，則
$g^{\prime}(\xi)=f^{\prime}(\xi)-\tau=0$

不妨設 $f^{\prime}(x)>0(x\in(a,b))$，由拉格朗日中值定理， $f(x)$在 $[a,b]$上嚴格單調上升，這樣 $f(t)$就存在反函數， $t=f^{-1}(x)$，這樣，就有 $y=g(f^{-1}(x))$，就把參數方程化爲函數形式，由複合函數求導法則： $\frac{dy}{dx}=f^{-1\prime}(x)g^{\prime}(t) =\frac{1}{f^{\prime}(t)}g^{\prime}(t) =\frac{g^{\prime}(t)}{f^{\prime}(t)}$過參數方程曲線兩端的直線斜率應當爲 $\frac{g(b)-g(a)}{f(b)-f(a)}$按拉格朗日中值定理的觀點，應當存在 $\xi\in(a,b)$，知足
$\frac{g(b)-g(a)}{f(b)-f(a)} = \frac{g^\prime(\xi)}{f^\prime(\xi)}$這就是柯西中值定理。
定理4.10 $f(t),g(t)$在 $[a,b]$上連續， $(a,b)$上可導，而且 $f(t)$導數不爲0，則存在 $\xi\in(a,b)$，知足 $\frac{g(b)-g(a)}{f(b)-f(a)} = \frac{g^\prime(\xi)}{f^\prime(\xi)}$

證：
令 $F(x) = g(x)-g(a)-\frac{g(b)-g(a)}{f(b)-f(a)}(f(x)-f(a))$， $F(b)=F(a)=0$，在應用羅爾定理便可證得結論

洛必達法則

柯西中值定理提供了一種計算極限的簡化方式。
定理4.11（洛必達法則1） $f(x),g(x)$在 $x_0$的某個右半去心鄰域(左半去心鄰域)上可導，而且知足：
(1) $\lim_{x\to x_0^+}{f(x)}=\lim_{x\to x_0^+}{g(x)} = 0$( $\lim_{x\to x_0^-}{f(x)}=\lim_{x\to x_0^-}{g(x)} = 0$)
(2) $g(x)$在該鄰域內導數恆不爲0
(3) $\lim_{x\to x_0^+}{\frac{f^\prime(x)}{g^\prime(x)}}=A$( $\lim_{x\to x_0^-}{\frac{f^\prime(x)}{g^\prime(x)}}=A$)
則 $\lim_{x\to x_0^+}{\frac{f(x)}{g(x)}}=A$( $\lim_{x\to x_0^-}{\frac{f(x)}{g(x)}}=A$)

證：
僅證右極限情形，左極限是相似的，補充定義 $f(x_0)=g(x_0)=0$，對該鄰域內的一點 $x$，有 $\frac{f(x)}{g(x)} =\frac{f(x)-f(x_0)}{g(x)-g(x_0)} =\frac{f^{\prime}(\xi)}{g^{\prime}(\xi)} (\xi \in (x_0,x))$令 $x_0\to x$便可

對 $x\to\infty$，也有相似的結論。
定理4.12（洛必達法則2） $f(x),g(x)$在 $(a,+\infty)((-\infty,a))$可導，而且知足：
(1) $\lim_{x\to +\infty}{f(x)}=\lim_{x\to +\infty}{g(x)}=0(\lim_{x\to -\infty}{f(x)}=\lim_{x\to -\infty}{g(x)}=0)$
(2) $g(x)$在 $(a,+\infty)((-\infty,a))$上導數恆不爲0
(3) $\lim_{x\to +\infty}{\frac{f^\prime(x)}{g^\prime(x)}}=A$( $\lim_{x\to -\infty}{\frac{f^\prime(x)}{g^\prime(x)}}=A$)
則 $\lim_{x\to +\infty}{\frac{f(x)}{g(x)}}=A$( $\lim_{x\to-\infty}{\frac{f(x)}{g(x)}}=A$)

證：
令 $F(t)=f(\frac{1}{t}),G(t)=g(\frac{1}{t})$，補充定義 $F(0)=G(0)=0$，則 $\lim_{t\to 0^+}{F(t)}{G(t)}= \lim_{t\to 0^+}{F^{\prime}(t)}{G^{\prime}(t)} =\lim_{t\to 0^+}{ \frac{ f^\prime(\frac{1}{t}) (-\frac{1}{t^2}) } { g^\prime(\frac{1}{t}) (-\frac{1}{t^2}) } } =\lim_{t\to 0^+}{ \frac{ f^\prime(\frac{1}{t}) } { g^\prime(\frac{1}{t}) } } =A$