擴展歐幾里得算法(extgcd)

相信你們對歐幾里得算法,即展轉相除法不陌生吧。

代碼以下：

int gcd(int a, int b){
    return !b ? gcd(b, a % b) : a;
}

而擴展歐幾里得算法，顧名思義就是對歐幾里得算法的擴展。

切入正題：

首先咱們來看一個問題：

求整數x, y使得ax + by = 1, 若是gcd(a, b) != 1, 咱們很容易發現原方程是無解的。則方程ax + by = 1有正整數對解（x, y)的必要條件是gcd(a, b) = 1,即a, b 互質。

此時正整數對解(x, y)能夠經過擴展歐幾里得算法求得。

對於方程ax + by = gcd(a, b)；咱們設解爲x₁,  y₁

咱們令a = b, b = a % b;

獲得方程bx + a % by = gcd(b， a % b);

由歐幾裏得算法能夠獲得gcd(a, b) = gcd(b, a % b);

代入可得：bx + a % b y = gcd(a, b)

設此方程解爲x_2, y₂；

在計算機中咱們知道： a % b = a - (a / b) * b;

代入方程化解得：

ay₂ + b(x₂ - (a / b) y₂) = gcd(a, b);

與ax₁ + by₁ = gcd(a, b) 聯立，咱們很容易得：

x₁ = y₂, y₁ = x₂ - (a / b)y₂;

而後咱們就這樣能夠解出來了。

等等咱們彷佛忘記一個東西了吧？對就是遞歸的終點。也就是最後方程的解x和y。

對於方程ay₂ + b(x₂ - (a / b) y₂) = gcd(a, b);

當b = 0時，發現a * 1 + b * 0 = gcd(a, b)

則有x = 1, y = 0。

由此咱們把ax + by = 1的其中一組解解出來了， 僅僅是其中一組解。

對於已經獲得的解x₁, y₁;咱們即可以求出通解。

咱們設x = x₁ + kt；t爲整數

帶入方程解得y = y₁ - a * k / b * t;

而咱們要保證y也爲整數的話必須保證a * k /b也爲整數，咱們不妨令k = b/gcd(a, b);

因此通解爲：

x = x₁ + b / gcd(a, b) * t;

y = y₁ -  a / gcd(a, b) * t;

其中t爲整數。

附上僞代碼：

int a, b, x, y;

int extgcd(int a, int b,int &x, int &y){
    int d = a;
    if(b != 0){
        d = extgcd(b, a % b, y, x);
        y -= (a / b) * x;
    }
    else  x = 1, y = 0;
    return d;
}//d = gcd(a, b);

 擴展歐幾里得算法還能夠用來解以下方程：

ax = mt + b，ax - mt = b

這種形式不就是前面的形式嗎？