歐幾里得算法與擴展歐幾里得算法

歐幾里得算法

歐幾里得算法，也叫展轉相除，簡稱 gcd，用於計算兩個整數的最大公約數

　　定義 gcd(a,b) 爲整數 a 與 b 的最大公約數

給定整數a和b，且b>0，重複使用帶餘除法，即每次的餘數爲除數去除上一次的除數，直到餘數爲0，這樣能夠獲得下面一組方程：
a = bq1+r1, 0 < r1 <b,
b = r1q2+r2, 0 < r2 < r1,
r1 = r2q3+r3, 0 < r3 < r2,
……
rj-1 = rjqj+1
最後一個不爲0的餘數rj就是a和b的最大公因子

求gcd (1970，1066)
用歐幾里德算法的計算過程以下：
1970＝1×1066+904
1066＝1×904+162
904＝5×162+94
162=1×94+68
94＝1×68+26
68＝2×26+16
26＝1×16+10
16＝1×10+6
10＝1×6+4
6=1×4+2
4＝2×2+0
所以gcd (1970，1066) = 2

 

 

 擴展歐幾里得算法

1.可以肯定兩個正整數的最大公約數
2.若是這兩個正整數互素（互質），還能肯定他們的逆元

若是整數n≥1，且gcd(a,n)=1,那麼a有一個模n的乘法逆元a-1。即對小於n的正整數a，存在一個小於n的整數a，存在一個小於n的整數a-1，使得a * a^-1≡1 mod n。

 

 

 （1）1234 mod 4321 用擴展歐幾里德算法的計算過程以下：

循環次數	Q	X1	X2	X3	Y(T1)	Y(T2)	Y(T3)
初始值	-	1	0	4321	0	1	1234
1	3	0	1	1234	1	-3	619
2	1	1	-3	619	-1	4	615
3	1	-1	4	615	2	-7	4
4	153	2	-7	4	-307	1075	3
5	1	-307	1075	3	309	-1082	1

- 1082 =3239 mod 4321,因此逆元是 3239

（2）24140 mod 40902

循環次數	Q	X1	X2	X3	Y(T1)	Y(T2)	Y(T3)
初始值	-	1	0	40902	0	1	24140
1	1	0	1	24140	1	-1	16762
2	1	1	-1	16762	-1	2	7378
3	2	-1	2	7378	3	-5	2006
4	3	3	-5	2006	-10	14	1360
5	1	-10	14	1360	13	-19	646
6	2	13	-19	646	-36	52	68
7	9	-36	52	68	326	-487	34
8	2	326	-487	34	-688	1026	0

無逆元