擴展歐幾里得算法(exgcd)

擴展歐幾里得算法，是用來求形如

\[ax+by=c \]

的不定方程的整數解的。

判斷是否有整數解

根據裴蜀定理，若 \(gcd(a,b) \mid c\)，則必定有整數解，不然必定無解。

證實

設 \(d=gcd(a,b)\)，顯然有 \(d \mid a,d \mid b\)。因爲 \(x,y\) 都是整數，因此 \(d \mid (ax),d \mid (by)\)。
因此若是要讓式子成立，\(c\) 必須得是 \(a,b\) 的公約數的倍數纔對。
又由於 \(x,y\) 是整數，因此 \(c\) 必須是 \(a,b\) 的最大公約數的倍數才行。
實在看不懂的話感性理解下吧awa

轉化

讓方程兩邊同除以 \(gcd(a,b)\)，能夠獲得方程

\[a'x+b'y=c' \]

其中

\[a'=a \times \frac{gcd(a,b)}{c},b'=b \times \frac{gcd(a,b)}{c},c'=c \times \frac{gcd(a,b)}{c}=gcd(a,b) \]

後面求特解中提到的方程均爲轉化後的方程，即後面方程中的 \(a\) 就是 \(a'\)，\(b\) 就是 \(b'\)

求解

求特解

由歐幾里得算法可知，\(gcd(a,b)=gcd(b,a \bmod b)\)
因而，咱們能夠獲得

\[bx'+(a \bmod b)y'=gcd(b,a \bmod b) \]

接下來咱們就要根據 \(x',y'\) 來反推 \(x,y\)。
由於 \(gcd(a,b)=gcd(b,a \bmod b)\)，因此

\[ax+by=bx'+(a \bmod b)y' \]

咱們把右邊的式子變形一下：

\[bx'+(a \bmod b)y' \]

\[=(a-b\left\lfloor\frac{a}{b}\right\rfloor)y'+bx' \]

\[=ay'+bx'-b\left\lfloor\frac{a}{b}\right\rfloor y' \]

\[= ay'+b(x'-\left\lfloor\frac{a}{b}\right\rfloor y') \]

因此，\(x=y',y=x'-\left\lfloor\frac{a}{b}\right\rfloor y')\)。
因而咱們只要向歐幾里得算法那樣遞歸，就能獲得一組特解了。
但還有一個問題，就是遞歸邊界。
遞歸邊界顯然是 \(b=0\) 的狀況，而此時的方程就變爲：

\[ax+by=ax=gcd(a,0)=a \]

因此此時 \(x=1\)，\(y\) 是任意整數。

求解過程用代碼寫出來就是這個亞子：

ll exgcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y)
{
	if(b==0)
	{
		x=1;
		y=0;//y能夠是任意整數，這裏咱們讓他等於0也能夠
		return a;
	}
	const ll m=exgcd(b,a%b,y,x);
	y-=(a/b)*x;
	return m;
}

可是可是，這求的是

\[ax+by=gcd(a,b) \]

的解呀。不是咱們要的解。
由於咱們在轉化時讓方程兩邊都除以 \(\frac{c}{gcd(a,b)}\)，因此如今要乘回來：

\[x=x \times \frac{c}{gcd(a,b)},y=y \times \frac{c}{gcd(a,b)} \]

求通解

這裏咱們設以前求出來的通解爲 \(x_0,y_0\)。
設 \(d=gcd(a,b)\)
則通解

\(x=x_0+\frac{b}{d} \times t,y=y0-\frac{a}{d} \times t\)

t是任意整數。
爲何是這樣呢？
顯然咱們須要知足

\[ax+by=c \]

把 \(x,y\) 拆開來：

\[a(x_0+n)+b(y_0-m)=c \]

因而就有

\[an-bm=0 \]

又由於 \(n,m\) 必須是整數，因此只有上面說的那個能夠知足要求了。

求最小正整數解

這裏指 \(x\) 是最小正整數。
當咱們求出一組特解後，最小正整數解即

\[x=(x_0\%\frac{b}{d}+\frac{b}{d})\%\frac{b}{d},y=(c-ax)/b \]

上面的式子用的是 C++ 語法。 求最小正整數解慣用手法，這裏再也不累述。