外賣配送路徑規劃算法：兩階段快速啓發式算法

0.寫在前面

外賣配送是運籌優化算法重要應用領域，它的主要特色是併發高、延時低，爲了解決這樣的問題須要對業務進行深刻理解，設計定製化優化手段。原計劃時機成熟的時候進行解讀，因爲屬於以前團隊的商業核心機密，計劃暫時擱置。去年前同事發了一篇paper（A Two-Stage Fast Heuristic for Food Delivery Route Planning Problem），十分清晰明瞭。鑑於此本文再也不狗尾續貂，僅作翻譯，一是方便後來者閱讀，二也對以前的工做作一次回顧。

1.背景

在外賣場景，用戶在外賣平臺點單以後，訂單信息會推送至商家確認接單，以後進入履約環節。調度系統對訂單進行指派和路徑規劃，外賣配送員根據訂單指派完成取餐和送餐任務。

而在配送問題中，路徑規劃是基本且重要的一個環節，它直接決定騎手服務路線的長度和時間，從而對訂單的準時率、客戶滿意度都產生影響。下圖是配送中騎手服務的路徑規劃示意圖，該騎手身上有5個訂單，其路徑規劃結果爲：取（4個）⟶送（2個）⟶取（1個）⟶送（3個）。

目前，路徑規劃主要存在以下困難：

• 計算量爆炸：因爲路徑規劃是NP難問題，沒法採用多項式算法在有限時間內求解。當問題規模增大時，計算量也呈指數增加。例如，在（午晚）高峯時刻，每一個騎手身上均可能有10個以上的訂單須要完成，在這種狀況下，可能的路徑規劃結果有2.38×1015種，想要在有限時間內求解是極困難的。
• 算法時效要求高：路徑規劃是指派算法的重要環節。指派算法是在線算法，線上會有大量的訂單和騎手須要進行匹配，所以路徑規劃算法須要在極短期內獲得結果（毫秒級）

學界與配送場景下的路徑規劃問題相關的研究主要集中於PDPTW問題（pickup and delivery problem with time-windows），它考慮多個騎手和多個客戶，每一個客戶的訂單包含一個取點與一個送點，騎手按規定順序訪問各個節點完成訂單的服務，從而達到某些目標函數（例如總行駛距離）的最優。求解PDPTW問題的算法包括：列生成算法（column generation）、分支切割（branch-and-cut）、分支切割訂價（branch-and-cut-and-price）等精確計算算法，禁忌搜索（tabu search）、模擬退火（simulated annealing algorithm）、基於插入搜索的算法（insertion-based heuristic）、自適應大鄰域搜索（adaptive large neighborhood search）、變深度搜索（variable-depth search algorithm）。因爲在配送場景下，對算法時效性有極高的要求，上述算法均沒法適用於配送場景的問題。在後文中，咱們將介紹路徑規劃的問題模型，以及提出的啓發式算法（Two-Stage Fast Heuristic），同時給出了一些仿真結果。

2.問題模型

背景中提到的配送場景下的路徑規劃問題能夠被簡化建模成單車輛PDPTW問題（single vehicle pickup and delivery problem with time-windows），即原PDPTW問題的單車輛簡化（僅有一個騎手）。下圖表示單車輛PDPTW問題研究中的一條典型路徑。其中t_i爲每一個送點的預計送達時間（ETA，Estimated Time of Arrival），當訂單產生時，t_i即被告知給商家和客戶。T_i表示預估送達時間（ETR，Estimated Time of Route），由路徑規劃算法計算得出。d_i爲點i−1到點i的距離。

本文中咱們考慮最小化訂單超時時間與路徑長度，即目標函數爲，該問題有兩個約束：

• 優先約束：訂單的取點需在送點前訪問
• 容量約束：騎手在服務過程當中同時攜帶的訂單數量具備上限

3.算法設計

TSFH（Two-Stage Fast Heuristic)主要包括兩個階段

• stage I：初始化獲得一個初始可行解⟶採用貪婪插入策略與基於地理信息的加速策略
• stage II：對初始解進行鄰域搜索⟶兩種鄰域分別對「最超時」和「最不超時」訂單進行調整

3.1初始化

3.1.1貪婪插入初始化

貪婪插入初始化主要包括如下步驟：

1. 訂單按照ETA時間升序排序；
2. 取出第一個訂單，進行排序。注意收到優先約束的影響，只有一種排列方法（取點在送點前）；
3. 對剩餘的訂單，按順序將其取送點插入全部可能位置，找到最優位置（目標函數最小），將其插入。

下圖爲初始化中貪婪插入的一個例子，在插入第二個訂單時，咱們有6種插入方案，根據目標函數最小原則，（A）爲最優插入方案。

當全部點都完成插入後，便獲得一個可行解。

3.1.2基於地理信息的加速策略

觀察商家和客戶的地理信息能夠發現，商家之間可能距離很近（例如中心商業區域所含的商家可能服務半徑5km之內的60%的客戶），客戶也是如此（多個客戶可能位於同一個小區或樓宇）。所以咱們能夠經過分層聚類的方法將取送點聚類爲不一樣的集羣，經過對這些集羣進行分析，咱們能夠減小無效插入，提升貪婪插入初始化的速度。根據引理1，2能夠獲得加速策略以下：若節點j被分到組i，則最好的插入策略是將其插入組i，或是組i以後的組之間。

下面分別介紹聚類算法以及相關引理。

【聚類算法】 令D爲聚類範圍（例如D=100m），按照如下邏輯對各個節點進行聚類：

• 若節點i未被分類，則節點i產生一個新組，並變成該組的中心點
• 對於一個節點j，若是節點j沒有被分類，且d_ij<D，則j被分到組i
• 若節點j被分到組k，且j不是中心點，若是d_ij<d_kj，則將j從新分至組i

【Lemma 1】將節點插入所在組以前的組： 若是節點j被分至組i，則將節點j插入到組i以前的任何組必定劣於將節點j插入組i

Proof： 節點j屬於組i，則將節點j插入到組i以前的任何組k必定不如將節點j直接插入組i，由於路徑長度變長了，但no delivery point benefits from shorter delays.

下圖給出了一個例子，取點和送點被分紅了三個組，假設藍色組與橙色組的點已經完成插入，咱們考慮綠色組的節點的插入。從圖中能夠看到，將節點插入所在組以前的組（B）老是比插入本身所在的組（A）更差，由於騎手路徑長度變長，客戶處可能會出現更高的超時。

【Lemma 2】將節點插入所在組以後的組： 若是節點j被分至組i，則咱們總能夠找到一個插入方案優於將節點j插入到組i以後的組k

Proof： 節點j屬於組i，則將節點j插入到組i以後的組k必定不如將節點j插入組k和組k+1之間（若是k是最後一個組，則插入到最後位置），由於路徑長度變長了，但no delivery point benefits from shorter delays.

下圖給出了一個例子，取點和送點被分紅了三個組，假設橙色組與綠色組的點已經完成插入，咱們考慮藍色組的節點的插入。從圖中能夠看到，將節點插入所在組以後的組之間（B）必定比插入到最後位置（A）更差，由於騎手路徑長度變長，客戶處可能會出現更高的超時。

3.2局部搜索

在初始化結束後，局部搜索經過在初始解的鄰域範圍內進行搜索來提升解的質量。咱們的算法考慮兩種類型的鄰域：

• 找到超時最嚴重的節點，將其前移，插入最優位置。流程以下圖A所示。
• 找到超時最不嚴重的節點，將其後移，插入最優位置。流程以下圖B所示。

注：每次局部搜索找到一個更好的解時，當前最優解即被替換。

4.仿真結果

本節給出一些仿真結果。首先咱們比較了帶有加速策略初始化與不帶加速策略初始化的結果，以驗證初始化中加速策略的有效性。以後，咱們將TSFH產生的解與暴力算法獲得的最優解進行比較，從而驗證TSFH產生近似最優解的能力。最後，咱們將TSFH與目前最好的一些算法進行比較，驗證TSFH求解該問題的有效性。

算例從實際路徑規劃問題中均勻採樣獲得，根據取送點的數量分爲三類：「<10」, "10-20", ">20"。

算法的評價指標採用總分（Total Score）和平均時間（Average Time）。總分爲超時時間與路徑長度的和，平均時間爲一個算例的平均運行時間。

運行環境爲MacBook Pro with 2.2 GHz processors / 16 GB RAM in Mac-OS，編程語言爲Java，IDE爲Eclipse。

4.1加速策略效果

表一爲帶有加速策略初始化與不帶加速策略初始化的比較結果。能夠看出，加速策略有着明顯的效果。例如"10-20"算例的平均運行時間從0.37降至0.21，減小了43.2%。同時，從總分能夠看出，加速策略初始化的效果幾乎沒有受到影響，這證實加速策略不會以犧牲解的質量爲代價，能夠在短期內產生優良解。

4.2與暴力算法比較

問題規模較小時，該問題的最優解能夠經過暴力搜索算法來獲得。考慮n個取點和n個送點，不考慮容量約束的條件下，暴力搜索算法的複雜度爲。這裏咱們只提供「<10」算例的比較結果如表二。

能夠看出，對於「<10」的算例，TSFH僅需暴力算法運行時間的0.21%，便可達到幾乎同樣的效果。另外，「10-20」與「>20」算例的運行時間也均在毫秒級。在現實中，大部分狀況均可被「<10」和「10-20」的算例覆蓋，所以這代表TSFH足以在毫秒數量級內解決配送中的路徑規劃問題。

4.3與其餘最優算法比較

TSFH與variable-depth search (VDS)、simulated annealing (SA)的比較結果如表三。能夠看出TSFH在總分和平均時間兩方面都優於VDS和SA。在「<10」算例中，TSFH達到了近似最優解，僅比最優解高0.7%，而VDS和SA分別高了29.4%和35.7%。另外，TSFH求解「<10」算例的平均時間爲0.41ms，而VDS和SA分別爲3.51ms和25.64ms。配送環境中的路徑規劃對於算法的運行速度有着極高的要求，TSFH能夠在1ms內完成「<10」算例的求解，而VDS和SA的運行時間均沒法接受。所以，TSFH是比VDS和SA更好更有效的算法，也更適用於配送環境下的路徑規劃問題求解。

5.總結

本篇文章將外賣配送環境下的路徑規劃問題建模爲單車輛PDPTW問題。與傳統求解單車輛PDPTW問題的算法不一樣，本篇提出了一種兩階段快速啓發式算法（TSFH）。在第一階段，經過貪婪初始化獲得一個可行的優良解。根據顧客和商戶的地理位置信息，設計了一種加速策略，在節點調整時避免了無效插入。在第二階段，經過在當前解的兩種鄰域內進行搜索，解的質量獲得了進一步提高。

仿真結果代表，TSFH與暴力搜索算法、VDS、SA相比，在解的質量和運行時間方面均有着極大的優點。同時，TSFH具有在毫秒數量級內產生近似最優解的能力，適用於配送場景下路徑規劃問題的求解。