詳解什麼是平衡二叉樹（AVL）（修訂補充版）

時間  2019-12-07
標籤 詳解 什麼 平衡 二叉樹 avl 修訂 補充 欄目 應用數學 简体版
原文   原文鏈接

前言

Wiki:在計算機科學中，AVL樹是最先被髮明的自平衡二叉查找樹。在AVL樹中，任一節點對應的兩棵子樹的最大高度差爲1，所以它也被稱爲高度平衡樹。查找、插入和刪除在平均和最壞狀況下的時間複雜度都是 O(logn）。增長和刪除元素的操做則可能須要藉由一次或屢次樹旋轉，以實現樹的從新平衡。AVL 樹得名於它的發明者 G. M. Adelson-Velsky 和 Evgenii Landis，他們在1962年的論文《An algorithm for the organization of information》中公開了這一數據結構。php

1 爲何要有平衡二叉樹

二叉搜索樹必定程度上能夠提升搜索效率，可是當原序列有序時，例如序列 A = {1，2，3，4，5，6}，構造二叉搜索樹如圖 1.1。依據此序列構造的二叉搜索樹爲右斜樹，同時二叉樹退化成單鏈表，搜索效率下降爲 O(n)。node

圖 1.1

在此二叉搜索樹中查找元素 6 須要查找 6 次。c++

二叉搜索樹的查找效率取決於樹的高度，所以保持樹的高度最小，便可保證樹的查找效率。一樣的序列 A，將其改成圖 1.2 的方式存儲，查找元素 6 時只需比較 3 次，查找效率提高一倍。數據結構

圖 1.2

能夠看出當節點數目必定，保持樹的左右兩端保持平衡，樹的查找效率最高。函數

這種左右子樹的高度相差不超過 1 的樹爲平衡二叉樹。動畫

2. 定義

平衡二叉查找樹：簡稱平衡二叉樹。由前蘇聯的數學家 Adelse-Velskil 和 Landis 在 1962 年提出的高度平衡的二叉樹，根據科學家的英文名也稱爲 AVL 樹。它具備以下幾個性質：this

  1. 能夠是空樹。
  2. 假如不是空樹，任何一個節點的左子樹與右子樹都是平衡二叉樹，而且高度之差的絕對值不超過 1。

平衡之意，如天平，即兩邊的份量大約相同。spa

例如圖 2.1 不是平衡二叉樹，由於節點 60 的左子樹不是平衡二叉樹。3d

圖 2.1

圖 2.2 也不是平衡二叉樹，由於雖然任何一個節點的左子樹與右子樹都是平衡二叉樹，但高度之差已經超過 1 。指針

圖 2.2

圖 2.3 是平衡二叉樹。

圖 2.3

3. 平衡因子

**定義：**某節點的左子樹與右子樹的高度(深度)差即爲該節點的平衡因子（BF,Balance Factor），平衡二叉樹中不存在平衡因子大於 1 的節點。在一棵平衡二叉樹中，節點的平衡因子只能取 0 、1 或者 -1 ，分別對應着左右子樹等高，左子樹比較高，右子樹比較高。

圖 3.1

圖 3.2

圖 3.3

4. 節點結構

定義平衡二叉樹的節點結構：

typedef struct AVLNode *Tree;

typedef int ElementType;

struct AVLNode{

    int depth; //深度，這裏計算每一個節點的深度，經過深度的比較可得出是否平衡

    Tree parent; //該節點的父節點

    ElementType val; //節點值

    Tree lchild;

    Tree rchild;
  
    AVLNode(int val=0) {
        parent = NULL;
        depth = 0;
        lchild = rchild = NULL;
        this->val=val;
    }
};
複製代碼

5. AVL樹插入時的失衡與調整

圖 5.1 是一顆平衡二叉樹

圖 5.1

在此平衡二叉樹插入節點 99 ，樹結構變爲：

動圖 5.2

在動圖 5.2 中，節點 66 的左子樹高度爲 1，右子樹高度爲 3，此時平衡因子爲 -2，樹失去平衡。

在動圖 5.2 中，以節點 66 爲父節點的那顆樹就稱爲 最小失衡子樹。

最小失衡子樹：在新插入的節點向上查找，以第一個平衡因子的絕對值超過 1 的節點爲根的子樹稱爲最小不平衡子樹。也就是說，一棵失衡的樹，是有可能有多棵子樹同時失衡的。而這個時候，咱們只要調整最小的不平衡子樹，就可以將不平衡的樹調整爲平衡的樹。

平衡二叉樹的失衡調整主要是經過旋轉最小失衡子樹來實現的。根據旋轉的方向有兩種處理方式，左旋 與 右旋 。

旋轉的目的就是減小高度，經過下降整棵樹的高度來平衡。哪邊的樹高，就把那邊的樹向上旋轉。

5.1 左旋

圖 5.1.1

以圖 5.1.1 爲例，加入新節點 99 後， 節點 66 的左子樹高度爲 1，右子樹高度爲 3，此時平衡因子爲 -2。爲保證樹的平衡，此時須要對節點 66 作出旋轉，由於右子樹高度高於左子樹，對節點進行左旋操做，流程以下：

（1）節點的右孩子替代此節點位置 （2）右孩子的左子樹變爲該節點的右子樹 （3）節點自己變爲右孩子的左子樹

整個操做流程如動圖 5.1.2 所示。

動圖 5.1.2

  • 節點的右孩子替代此節點位置 —— 節點 66 的右孩子是節點 77 ，將節點 77 代替節點 66 的位置
  • 右孩子的左子樹變爲該節點的右子樹 —— 節點 77 的左子樹爲節點 75，將節點 75 挪到節點 66 的右子樹位置
  • 節點自己變爲右孩子的左子樹 —— 節點 66 變爲了節點 77 的左子樹

5.2 右旋

右旋操做與左旋相似，操做流程爲：

（1）節點的左孩子表明此節點 （2）節點的左孩子的右子樹變爲節點的左子樹 （3）將此節點做爲左孩子節點的右子樹。

動圖 5.2.1

6. AVL樹的四種插入節點方式

假設一顆 AVL 樹的某個節點爲 A，有四種操做會使 A 的左右子樹高度差大於 1，從而破壞了原有 AVL 樹的平衡性。平衡二叉樹插入節點的狀況分爲如下四種：

圖 6.0

具體分析以下：

6.1 A的左孩子的左子樹插入節點(LL)

只須要執行一次右旋便可。

動圖 6.1

實現代碼以下：

//LL型調整函數
//返回:新父節點
Tree LL_rotate(Tree node){
    //node爲離操做節點最近的失衡的節點
    Tree parent=NULL,son;
    //獲取失衡節點的父節點
    parent=node->parent;
    //獲取失衡節點的左孩子
    son=node->lchild;
    //設置son節點右孩子的父指針
    if (son->rchild!=NULL)  son->rchild->parent=node;
    //失衡節點的左孩子變動爲son的右孩子
    node->lchild=son->rchild;
    //更新失衡節點的高度信息
    update_depth(node);
    //失衡節點變成son的右孩子
    son->rchild=node;
    //設置son的父節點爲原失衡節點的父節點
    son->parent=parent;
    //若是失衡節點不是根節點，則開始更新父節點
    if (parent!=NULL){
        //若是父節點的左孩子是失衡節點，指向如今更新後的新孩子son
        if (parent->lchild==node){
            parent->lchild=son;
        }else{
             //父節點的右孩子是失衡節點
              parent->rchild=son;
        }
     }
    //設置失衡節點的父親
    node->parent=son;
    //更新son節點的高度信息
    update_depth(son);
    return son;
}

複製代碼

6.2 A的右孩子的右子樹插入節點(RR)

只須要執行一次左旋便可。

動圖 6.2

實現代碼以下：

//RR型調整函數
//返回新父節點
Tree RR_rotate(Tree node){
    //node爲離操做節點最近的失衡的節點
    Tree parent=NULL,son;
    //獲取失衡節點的父節點
    parent=node->parent;
    //獲取失衡節點的右孩子
    son=node->rchild;
    //設置son節點左孩子的父指針
    if (son->lchild!=NULL){
          son->lchild->parent=node;
    }
    //失衡節點的右孩子變動爲son的左孩子
    node->rchild=son->lchild;
    //更新失衡節點的高度信息
    update_depth(node);
    //失衡節點變成son的左孩子
    son->lchild=node;
    //設置son的父節點爲原失衡節點的父節點
    son->parent=parent;
    //若是失衡節點不是根節點，則開始更新父節點
    if (parent!=NULL){
        //若是父節點的左孩子是失衡節點，指向如今更新後的新孩子son
        if (parent->lchild==node){
            parent->lchild=son;
        }else{
            //父節點的右孩子是失衡節點
            parent->rchild=son;
        } 
    }
    //設置失衡節點的父親
    node->parent=son;
    //更新son節點的高度信息
    update_depth(son);
    return son;
}
複製代碼

6.3 A的左孩子的右子樹插入節點(LR)

若 A 的左孩子節點 B 的右子樹 E 插入節點 F ，致使節點 A 失衡，如圖：

圖 6.3

A 的平衡因子爲 2 ，若仍按照右旋調整，則變化後的圖形爲這樣：

圖 6.3.1

通過右旋調整發現，調整後樹仍然失衡，說明這種狀況單純的進行右旋操做不能使樹從新平衡。那麼這種插入方式須要執行兩步操做，使得旋轉以後爲 原來根節點的左孩子的右孩子做爲新的根節點。

（1）對失衡節點 A 的左孩子 B 進行左旋操做，即上述 RR 情形操做。 （2）對失衡節點 A 作右旋操做，即上述 LL 情形操做。

調整過程以下：

圖 6.3.2

圖 6.3.3

也就是說，通過這兩步操做，使得 原來根節點的左孩子的右孩子 E 節點成爲了新的根節點。

代碼實現：

//LR型，先左旋轉，再右旋轉
//返回：新父節點
Tree LR_rotate(Tree node){
    RR_rotate(node->lchild);
    return LL_rotate(node);
}
複製代碼

6.4 A的右孩子的左子樹插入節點(RL)

右孩子插入左節點的過程與左孩子插入右節點過程相似，也是須要執行兩步操做，使得旋轉以後爲 原來根節點的右孩子的左孩子做爲新的根節點。

（1）對失衡節點 A 的右孩子 C 進行右旋操做，即上述 LL 情形操做。 （2）對失衡節點 A 作左旋操做，即上述 RR 情形操做。

圖 6.4

圖 6.4.1

圖 6.4.2

也就是說，通過這兩步操做，使得 原來根節點的右孩子的左孩子 D 節點成爲了新的根節點。

代碼實現：

//RL型，先右旋轉，再左旋轉
//返回:新父節點
Tree RL_rotate(Tree node){
    LL_rotate(node->rchild);
    return RR_rotate(node);
}
複製代碼

補充：

上述四種插入方式的代碼實現的輔助代碼以下：

//更新當前深度
void update_depth(Tree node){
    if (node==NULL){
        return;
    }else{
        int depth_Lchild=get_balance(node->lchild); //左孩子深度
        int depth_Rchild=get_balance(node->rchild); //右孩子深度
        node->depth=max(depth_Lchild,depth_Rchild)+1;
    }
}

//獲取當前節點的深度
int get_balance(Tree node){
    if (node==NULL){
         return 0;
    }
    return node->depth;
}

//返回當前平衡因子
int is_balance(Tree node){
    if (node==NULL){
         return 0;
    }else{
         return get_balance(node->lchild)-get_balance(node->rchild); 
    }
}
複製代碼

6.5 小總結

  1. 在全部的不平衡狀況中，都是按照先 尋找最小不平衡樹，而後 尋找所屬的不平衡類別，再 根據 4 種類別進行固定化程序的操做。
  2. LL , LR ，RR ，RL其實已經爲咱們提供了最後哪一個節點做爲新的根指明瞭方向。如 LR 型最後的根節點爲原來的根的左孩子的右孩子，RL 型最後的根節點爲原來的根的右孩子的左孩子。只要記住這四種狀況，能夠很快地推導出全部的狀況。
  3. 維護平衡二叉樹，最麻煩的地方在於平衡因子的維護。建議讀者們根據小吳提供的圖片和動圖，本身動手畫一遍，這樣能夠更加感性的理解操做。

7. AVL樹的四種刪除節點方式

AVL 樹和二叉查找樹的刪除操做狀況一致，都分爲四種狀況：

（1）刪除葉子節點 （2）刪除的節點只有左子樹 （3）刪除的節點只有右子樹 （4）刪除的節點既有左子樹又有右子樹

只不過 AVL 樹在刪除節點後須要從新檢查平衡性並修正，同時，刪除操做與插入操做後的平衡修正區別在於，插入操做後只須要對插入棧中的彈出的第一個非平衡節點進行修正，而刪除操做須要修正棧中的全部非平衡節點。

刪除操做的大體步驟以下：

  • 之前三種狀況爲基礎嘗試刪除節點，並將訪問節點入棧。
  • 若是嘗試刪除成功，則依次檢查棧頂節點的平衡狀態，遇到非平衡節點，即進行旋轉平衡，直到棧空。
  • 若是嘗試刪除失敗，證實是第四種狀況。這時先找到被刪除節點的右子樹最小節點並刪除它，將訪問節點繼續入棧。
  • 再依次檢查棧頂節點的平衡狀態和修正直到棧空。

對於刪除操做形成的非平衡狀態的修正，能夠這樣理解：對左或者右子樹的刪除操做至關於對右或者左子樹的插入操做，而後再對應上插入的四種狀況選擇相應的旋轉就行了。

7.1 刪除葉子節點

處理步驟：

①、將該節點直接從樹中刪除；

②、其父節點的子樹高度的變化將致使父節點平衡因子的變化，經過向上檢索並推算其父節點是否失衡；

③、若是其父節點未失衡，則繼續向上檢索推算其父節點的父節點是否失衡...如此反覆②的判斷，直到根節點 ；若是向上推算過程當中發現了失衡的現象，則進行 ④ 的處理；

④、若是其父節點失衡，則判斷是哪一種失衡類型 [LL、LR、RR、RL] ，並對其進行相應的平衡化處理。若是平衡化處理結束後，發現與原來以父節點爲根節點的樹的高度發生變化，則繼續進行 ② 的檢索推算；若是與原來以父節點爲根節點的高度一致時，則可說明父節點的父節點及祖先節點的平衡因子將不會有變化，所以能夠退出處理；

動圖 7.1.1

具體數字演示：

動圖 7.1

7.2 & 7.3 刪除的節點只有左子樹或右子樹

處理步驟：

①、將左子樹（右子樹）替代原有節點 C 的位置；

②、節點 C 被刪除後，則以 C 的父節點 B 爲起始推算點，依此向上檢索推算各節點（父、祖先）是否失衡；

③、若是其父節點未失衡，則繼續向上檢索推算其父節點 的父節點 是否失衡...如此反覆 ② 的判斷，直到根節點 ；若是向上推算過程當中發現了失衡的現象，則進行 ④ 的處理；

④、若是其父節點失衡，則判斷是哪一種失衡類型 [LL、LR、RR、RL] ，並對其進行相應的平衡化處理。若是平衡化處理結束後，發現與原來以父節點爲根節點的樹的高度發生變化，則繼續進行 ② 的檢索推算；若是與原來以父節點爲根節點的高度一致時，則可說明父節點的父節點及祖先節點的平衡因子將不會有變化，所以能夠退出處理；

動圖 7.2

7.4 刪除的節點既有左子樹又有右子樹

處理步驟：

①、找到被刪節點 B 和替代節點 BLR (節點 B 的前繼節點或後繼節點 —— 在此選擇 前繼)；

②、將替代節點 BLR 的值賦給節點 B ，再把替代節點 BLR 的左孩子 BLRL 替換替代節點 BLR 的位置；

③、以 BLR 的父節點 BL 爲起始推算點，依此向上檢索推算父節點或祖先節點是否失衡；

④、若是其父節點未失衡，則繼續向上檢索推算其父節點的父節點是否失衡...如此反覆③的判斷，直到根節點；若是向上推算過程當中發現了失衡的現象，則進行⑤的處理；

⑤、若是其父節點失衡，則判斷是哪一種失衡類型 [LL、LR、RR、RL] ，並對其進行相應的平衡化處理。若是平衡化處理結束後，發現與原來以父節點爲根節點的樹的高度發生變化，則繼續進行 ② 的檢索推算；若是與原來以父節點爲根節點的高度一致時，則可說明父節點的父節點及祖先節點的平衡因子將不會有變化，所以能夠退出處理；

動圖 7.4

注：在這裏，小吳並無給出 AVL 的刪除操做的代碼，也沒有給出平衡性修復的動畫，由於我並不打算過多去討論它，更復雜的刪除操做過程將放在後續的 紅黑樹 中進行討論。

總結

經過對 AVL 的插入操做和刪除操做能夠看出，平衡二叉樹的優點在於不會出現普通二叉查找樹的最差狀況，即退化成鏈表結構，但爲了保證高度平衡（對稱），動態插入和刪除的代價也隨之增長。

AVL 的旋轉問題看似複雜，但實際上若是你親自用筆紙操做一下仍是很好理解的。

相關文章
相關標籤/搜索
每日一句
    每一个你不满意的现在，都有一个你没有努力的曾经。
本站公眾號
   歡迎關注本站公眾號,獲取更多信息
聯繫我們 最近搜索 最新文章 沪ICP备13005482号-10 MyBatis教程 SQL 教程 MySQL教程 Java 教程 Thymeleaf 教程 Hibernate教程 Spring教程 Redis教程