洛谷P1220關路燈【區間dp】

題目描述

某一村莊在一條路線上安裝了 \(n\) 盞路燈，每盞燈的功率有大有小（即同一段時間內消耗的電量有多有少）。老張就住在這條路中間某一路燈旁，他有一項工做就是天天早上天亮時一盞一盞地關掉這些路燈。

爲了給村裏節省電費，老張記錄下了每盞路燈的位置和功率，他每次關燈時也都是儘快地去關，可是老張不知道怎樣去關燈纔可以最節省電。他天天都是在天亮時首先關掉本身所處位置的路燈，而後能夠向左也能夠向右去關燈。開始他覺得先算一下左邊路燈的總功率再算一下右邊路燈的總功率，而後選擇先關掉功率大的一邊，再回過頭來關掉另外一邊的路燈，而事實並不是如此，由於在關的過程當中適當地調頭有可能會更省一些。

如今已知老張走的速度爲 \(1m/s\)，每一個路燈的位置（是一個整數，即距路線起點的距離，單位：\(m\)）、功率（\(W\)），老張關燈所用的時間很短而能夠忽略不計。

請你爲老張編一程序來安排關燈的順序，使從老張開始關燈時刻算起全部燈消耗電最少（燈關掉後便再也不消耗電了）。

輸入格式

第一行是兩個數字\(n\)（表示路燈的總數）和 \(c\)（老張所處位置的路燈號）；

接下來 \(n\) 行，每行兩個數據，表示第 \(1\) 盞到第 \(n\) 盞路燈的位置和功率。數據保證路燈位置單調遞增。

輸出格式

一個數據，即最少的功耗（單位：\(J\)，\(1J=1W×s\)）。
輸入輸出樣例

輸入 #1

5 3
2 10
3 20
5 20
6 30
8 10

輸出 #1

270

說明/提示

樣例解釋

此時關燈順序爲 3 4 2 1 5。
數據範圍

\(1≤n≤50，1≤c≤n\)

分析

這個題從題目的意思，應該挺容易就能看出來是一個區間\(dp\)，由於題意就是一個大爺在一個「區間」裏關燈。因此就能夠根據區間長度來進行狀態轉移。首先想到若是大爺關燈從\(i\)到\(j\),固然這並不表明關燈順序，大爺關燈確定是走過的路上的燈都關了，由於這確定比走過不關再回來關要優。而在\(i\)到\(j\)這一段關了燈的區間裏，大爺有兩種位置狀況，一種是在\(i\)，也就是左邊，另外一種就是右邊，因此咱們的dp數組就能夠根據這個來開，也就是\(dp[i][j][0]\)和\(dp[i][j][1]\)分別表示關了i，j之間的燈，而後在最左和最右兩種位置的狀況，而區間長度確定是從最短到最長，最短爲1，而後依次增長，因此每一次的\(dp[i][j]\)的狀態都是從上一個轉移下來的，也就是\(dp[i+1][j]\)和$dp[i][j-1]，而後分別在左右端點兩種，依次進行狀態轉移。而能耗的增量能夠經過時間和區間裏能耗的前綴和來進行轉移，下邊我用一個轉移方程來進行一下具體說明：
首先是個轉移方程：

\[dp[i][j][0] = min(dp[i+1][j][0]+(pos[i+1] - pos[i])\times sum[i+1][j],dp[i+1][j][1]+(pos[j]-pos[i])\times sum[i+1][j]) \]

在這裏，\(pos\)表明位置（這裏的位置說的是下標，不是距離，可是pos數組存的是距離，用來計算時間）\(sum\)數組表明的是從\(i\)到\(j\)以外的能耗，\(sum\)須要一個預處理，下邊單獨說，這裏先介紹含義，方便理解。這個狀態轉移方程的意思也就是\(i\)到\(j\)區間內，大爺在左邊的時候，經過不一樣的上個狀態的位置來進行轉移，值得一提的是，由於此時大爺在左邊界，因此確定是由\(dp[i+1][j]\)轉移而來，假如是由\(dp[i][j-1]\)轉移來的話，應當在右側，這就是下一個狀態轉移方程。繼續看這個方程，從\(dp[i+1][j]\)轉移而來，因此也有兩種，左右邊界各一種，在左邊界時，他所需的時間就是\(pos[i+1] - pos[i]\),右邊界時就是\(pos[j]-pos[i]\)，而花費的功率就是sum乘以時間，分別爲：\((pos[i+1] - pos[i])\times sum[i+1][j]\)和\((pos[j]-pos[i])\times sum[i+1][j]\),看到這裏可能有人會有疑惑，從\(i\)到\(j\)以外的能耗爲啥是\(i+1\)到\(j\)呢，如今咱們來講一下\(sum\)的得出：咱們先用\(val\)數組當作前綴和，區間\(i\)到\(j\)的能耗就是\(val[j]-val[i-1]\),\(sum[i][j]\)就是用\(val[n]\)減去上邊的能耗，具體見代碼。如今大概就都解釋清楚了。而後就是兩個關鍵的狀態轉移方程：

\[dp[i][j][0] = min(dp[i+1][j][0]+(pos[i+1] - pos[i])*sum[i+1][j],dp[i+1][j][1]+(pos[j]-pos[i])*sum[i+1][j]) \\ dp[i][j][1] = min(dp[i][j-1][1]+(pos[j]-pos[j-1])*sum[i][j-1],dp[i][j-1][0]+(pos[j]-pos[i])*sum[i][j-1])\]

就這樣了，而後看一下代碼加深一下理解⑧

代碼

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn = 55;
int pos[maxn];
int sum[maxn][maxn];
int dp[maxn][maxn][3];
int v[maxn];
int n,c;
int main(){
	cin>>n>>c;
	for(int i=1;i<=n;++i){
		int w;
		cin>>pos[i]>>w;
		v[i]=v[i-1]+w;
	}
	memset(dp,0x3f,sizeof(dp));
	dp[c][c][0] = dp[c][c][1] = 0;
	for(int i=1;i<=n;++i){
		for(int j=1;j<=n;++j){
			sum[i][j] = v[n] - (v[j] - v[i-1]);
		}
	}
	for(int j = c;j<=n;++j){
		for(int i=j-1;i>=1;--i){
			dp[i][j][0] = min(dp[i+1][j][0]+(pos[i+1] - pos[i])*sum[i+1][j],dp[i+1][j][1]+(pos[j]-pos[i])*sum[i+1][j]);
			dp[i][j][1] = min(dp[i][j-1][1]+(pos[j]-pos[j-1])*sum[i][j-1],dp[i][j-1][0]+(pos[j]-pos[i])*sum[i][j-1]);
		}
	}
	int ans = min(dp[1][n][0],dp[1][n][1]);
	cout<<ans<<endl;
}