【 HDU4773 】Problem of Apollonius （圓的反演）

BUPT2017 wintertraining(15) #5G
HDU - 4773 - 2013 Asia Hangzhou Regional Contest problem D

題意

給定兩個相離的圓，和一個圓外的點P，求過該點和兩個圓都外切的圓。

題解

直接求解聯立的方程組不太可行。須要用一個黑科技——圓的反演。
什麼是圓的反演呢？

假設定圓的圓心爲O，半徑是R，線段OP上的點P'知足\(|OP|\cdot|OP'|=R^2\)，則稱P'是P關於定圓O的反演。

反演的性質：

1. 不經過O的直線反演後爲經過O的圓
2. 不經過O的圓反演後變成不經過O的圓
3. 圓C與其反演後的圓C'的切線再反演成的圓C1相切

因而這題就能夠 以P爲反演中心，反演半徑爲1，將兩個圓反演變換爲新的兩個圓，將新的兩個圓的外公切線求出來，其中 P與圓心 都在該切線同側的切線 關於P反演變換的圓 就是符合題意的。由於若是是在切線兩側就是內切，以下圖的黑色切線，P點和兩個新的圓的圓心在其兩側，則它的反演的圓將內切C1,C2，題目要咱們求的是外切的。紅色的切線反演的圓就是C3。

（順便，畫圖工具扔一下：Desmos）
如今的問題是如何求反演和外公切線。

利用圓上和p最近的點及最遠的點能夠求出對應的反演點，它們的距離就是直徑，它們的中點就是圓心，或者圓心能夠利用三角函數求得。

外公切線，參照白書P267寫的。

能夠根據下面代碼畫圖理解一下。

代碼

#include <cstdio>
#include <algorithm>
#define dd double
#define eps 1e-10
using namespace std;
dd sqr(dd x){return x*x;}
struct cir{
    dd x,y,r;
    cir(dd _x=0,dd _y=0,dd _r=0):x(_x),y(_y),r(_r){}
    void in(int t){scanf("%lf%lf",&x,&y);if(t)scanf("%lf",&r);}
    void out(){printf("%f %f %f\n",x,y,r);}
    cir point(dd a){//以圓心爲原點，a爲極角，對應的圓上的點。
        return cir(x+r*cos(a),y+r*sin(a));
    }
}p,c1,c2,st[5],ed[5];
int cnt;
dd xmult(cir a,cir b,cir o){
    return (a.x-o.x)*(b.y-o.y)-(a.y-o.y)*(b.x-o.x);
}
dd dis(cir a,cir b,cir c){
    dd A=b.y-a.y,B=a.x-b.x,C=b.x*a.y-b.y*a.x;
    return fabs(A*c.x+B*c.y+C)/sqrt(sqr(A)+sqr(B));
}
dd dis(cir a,cir b){
    return sqrt(sqr(a.x-b.x)+sqr(a.y-b.y));
}
cir cross(dd a1,dd b1,dd c1,dd a2,dd b2,dd c2){//a1X+b1Y+c1=0和a2X+b2Y+c2=0的交點
    dd y=-c1/b1;
    if(a1==0)return cir((-c2-b2*y)/a2,y);
    y=(a2*c1/a1-c2)/(b2-b1*a2/a1);
    return cir(-(c1+b1*y)/a1,y);
}
void inv(cir &c){//圓c反演變換
    dd d=dis(c,p),s=sqr(p.r)/(d-c.r),t=sqr(p.r)/(d+c.r);
    c.r=(s-t)/2;
    c.x=p.x+(c.x-p.x)/d*(t+c.r);
    c.y=p.y+(c.y-p.y)/d*(t+c.r);
}
cir inv(cir a,cir b){//直線ab的反演
    dd a1=b.y-a.y,b1=a.x-b.x,c1=a.y*b.x-a.x*b.y;//直線ab寫成a1X+b1Y+c=0的形式
    cir cr=cross(a1,b1,c1,b1,-a1,a1*p.y-b1*p.x);//p到直線ab的垂足
    dd r=sqr(p.r)/dis(a,b,p)/2,d=dis(cr,p);
    return cir(p.x+r/d*(cr.x-p.x),p.y+r/d*(cr.y-p.y),r);
}
int sgn(dd a){
    return (a>eps)-(a<-eps);
}
bool sameside(cir a,cir b,cir s,cir t){
    return sgn(xmult(s,t,a))==sgn(xmult(s,t,b));//利用叉積判斷是否在直線同側
}
void tangent(cir a,cir b){
    cnt=0;
    dd base=atan2(b.y-a.y,b.x-a.x),d=dis(a,b),ang=acos((a.r-b.r)/d);
  //這裏由於寫成a.y-b.y,a.x-b.x而wa了，畫了下圖就明白了
    st[cnt]=a.point(base-ang),ed[cnt]=b.point(base-ang);
    if(sameside(p,a,st[cnt],ed[cnt]))cnt++;//p和圓心在切線的同側
    st[cnt]=a.point(base+ang),ed[cnt]=b.point(base+ang);
    if(sameside(p,a,st[cnt],ed[cnt]))cnt++;
}
int main(){
    int t;
    scanf("%d",&t);
    while(t--){
        c1.in(1);c2.in(1);p.in(0);p.r=1;
        inv(c1);inv(c2);//c1,c2關於p反演
        tangent(c1,c2);//求外公切線
        printf("%d\n",cnt);
        for(int i=0;i<cnt;i++)inv(st[i],ed[i]).out();//外公切線關於p反演後的圓
    }
    return 0;
}