【科技】淺談圓的反演

一時興起，就有了這篇博客。本人也學識淺薄，姑且講一下我對於圓反演的一些皮毛之見。

首先咱們要明白反演是什麼：

反演是一種基本的幾何變換。給定一個平面上的一個反演中心$O$和一個常數$k$，對於任意一個點$A(A \neq O)$，咱們能夠找到一個在直線$OA$上的點$A'$，使得線段$OA,OA'$的有向長度的乘積爲$k$，那$A'$就是$A$關於$O$的反演點，能夠證實這樣的$A'$是惟一的。咱們稱$A->A'$的這種變換爲反演，咱們也能夠把它當作一種映射，並且是雙射。

點有關於圓的反演：

給定一個平面上的一個圓，其圓心爲$O$，半徑爲$r_0$，對於任意一個點$A(A \neq O)$，咱們一樣能夠找到一個在直線$OA$上的點$A'$，使得線段$OA, OA'$的有向長度之積爲常數${r_0}^2$，那$A'$就是$A$關於圓$O$的反演點，一樣這樣的$A'$是惟一的。

接下來咱們討論的問題都將圍繞一個反演中心展開，因此咱們用反演變換$f$來表示關於圓$O$的反演，這裏咱們有$f(A) = A'$。

直線關於圓的反演：

直線$A$關於圓$O$的反演$A'$就是$\{ f(P) | P \in A \}$，通俗地講就是把直線上的點都作反演後點的集合，很明顯這也是一個雙射。

咱們首先說一下結論：

1. 當直線$A$過點$O$時，$A' = A$。
2. 當直線$A$不過點$O$時，$A'$是一個圓，且$A'$始終過點$O$。當$A$與圓$O$相交時，$A'$與圓$O$相交；當$A$與圓$O$相切時，$A'$內切與圓$O$；當$A$與圓$O$相離時，$A'$內含與圓$O$。

第一句話比較簡單，不作累述，接下來主要證實第二句話，並會給出$A'$的具體的位置。（不會畫圖，你們本身腦補）

方便起見，咱們假設圓$O$是一個單位圓（這個並無關係，圖是能夠縮放的），直線$A$爲$x = a(a \neq 0)$。

設$A$上任意一個的點$P(a, y_1)$，$dis(P, O) = \sqrt{ a^2 + {y_1}^2 }$，由類似得$P' = f(P) = ( \frac{a}{a^2 + {y_1}^2} , \frac{y_1}{a^2 + {y_1}^2} )$。

這裏點$P'$的軌跡中只有$y_1$一個變量。咱們要證實$P'$的軌跡是一個圓，即咱們想要獲得$P'(x,y)$中$x,y$的關係式。

根據$P'$的座標有：$(1) x = \frac{a}{a^2 + {y_1}^2}  \qquad (2) y_1 x = a y $

聯立$(1)(2)$消掉$y_1$後便可得：$ x^2 - \frac{1}{a}x + y^2 = 0 $

能夠寫成圓的標準方程：$ (x - \frac{1}{2a})^2 + y^2 = (\frac{1}{2a})^2 $

 因此能夠知道$A'$的圓心位於$(\frac{1}{2a}, 0)$，半徑爲$\frac{1}{2a}$，因此說$A'$始終過點$O$。很容易看出，當$a = 1$時，直線$A$與圓$O$相切，此時圓$A'$也內切與圓$O$；其餘兩種狀況也能夠獲得證實。

圓有關於圓的反演：

圓$A$關於圓$O$的反演也定義爲$\{ f(P) | P \in A \}$。

咱們先闡明結論：

1. 當圓$A$過點$O$時，$A'$會退化成一條直線，能夠看作上一部分直線關於圓的反演的逆變換。
2. 當圓$A$不過點$O$時，$A'$是一個圓。當$A$與圓$O$相交時，$A'$也與圓$O$相交；當$A$與圓$O$外（內）切時，$A'$與圓$O$內（外）切；當$A$與圓$O$相離（內含）時，$A'$與圓$O$內含（相離）。

第一句話咱們已經討論過了就不作累述。咱們仿照上一部分，對此第二句話進行簡要證實。

一樣假設圓$O$是一個單位圓，圓$A$的圓心在$(a, 0)$，半徑是$r(r \neq a)$。

設$A$上的任意一點$P(x_1, y_1)$，故有方程：$(1) (x_1 - a)^2 + {y_1}^2 = r^2 $

一樣能夠獲得$P' = f(P) = (\frac{x_1}{ {x_1}^2 + {y_1}^2 }, \frac{y_1}{ {x_1}^2 + {y_1}^2 } )$

根據$P'$座標獲得方程：$ (2) x = \frac{x_1}{ {x_1}^2 + {y_1}^2 } \qquad (3) y_1 x = x_1 x $

聯立方程$(1)(2)(3)$消去$x_1,y_1$能夠獲得一個圓的標準方程：$(x + \frac{a}{r^2 - a^2})^2 + y^2 = (\frac{r}{r^2 - a^2})^2$

顯然$A'$是一個圓，圓心和半徑都能知道了。讀者們能夠自行驗證是否知足結論中第二句話所述的三種狀況。

圓反演的性質與應用：

有幾個須要知道的事實：

1. 兩對不共線的互反點四點共圓。（證實能夠先獲得類似，再獲得對角互補）
2. 兩個外切的圓在分別反演後仍外切（若是切點剛好是反演中心，則反演後爲兩平行線），對於內切、相交、相離、內含的狀況也是同樣。這個一樣適用於圓和直線的關係上。（由於原有的交點在反演後還是交點，因爲反演是可逆的，不會產生額外的交點）

關於圓的反演變換是幾何中一個經常使用技巧，其一般能夠把圓上的問題轉化成直線上的問題，在多圓問題中尤顯其強大之處。

$\star$ 一道例題。給定兩個圓$A,B$和一個不在$A,B$上的點$P$，求出全部過點$P$的圓，知足與$A,B$分別相切。

直接作好像沒什麼辦法，咱們考慮利用反演變換。以$P$爲圓心任意半徑作一個圓，而後分別作出$A,B$關於圓$P$的反演$A',B'$，能夠獲得$A',B'$的公切線，把公切線反演回去就是所求的圓。作法很簡單，緣由也很簡單，因爲要求的是過點$P$的圓，至關因而要求反演後的一條直線，而且這條直線要與反演後的$A,B$相切。

 

參考資料：

• 知乎zdr0的專欄  https://zhuanlan.zhihu.com/p/55834403