Pick定理、歐拉公式和圓的反演

Pick定理、歐拉公式和圓的反演

Tags：高級算法

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Pick定理

內容

定點都是整點的多邊形，內部整點數爲\(innod\)，邊界整點數\(ednod\),\(S=innod+\frac{ednod}{2}-1\)

證實

把每一個整點近似地當作一個圓，那麼多邊形內部的整點所表明的圓所有被算入
多邊形邊界上的圓被算了一半
頂點上被算了\(\sum 半圓-外角\)，外角和360度，因而\(-1\)

應用

POJ2954 求格點三角形內部點數

歐拉公式

內容

\[V-E+F=2\]
\(V:vertex\) 頂點
\(E:edge\) 邊
\(F:Flat\) 面

適用於全部多變形（不管維度）

例如一個長方形：\(4\)個點\(4\)條邊，兩個面：裏面和外面

應用

\(n\)個點作三維凸包，求增量構造法複雜度。

假設\(n\)個點都在凸包上，那麼\(V=n\)，每一個面有三條邊，每條邊被算了兩次，即\(2E=3F\)
經過上面的公式能夠獲得\(F=2n-4,E=3n-6\)。
增量構造法的複雜度是面數×點數，因此是\(\cal O(n^2)\)級別

圓的反演變換

內容

反演中心爲\(O\)，反演半徑爲\(R\)，若通過\(O\)的直線通過\(P,P'\)，且\(OP*OP'=R^2\)，則稱\(P\)、\(P'\)關於\(O\)互爲反演

性質

• 1.一根過\(O\)的直線的反形是自己
• 2.一根不過\(O\)的直線的反形是一個過\(O\)的圓
• 3.一個過\(O\)的圓的反形是一根不過\(O\)的直線
• 4.一個不過\(O\)的圓的反形是一個和該圓關於\(O\)位似的圓

下面這張圖能夠粗略解釋一下有這麼個東西：兩種不一樣顏色的三角形類似，能夠證出\(CD\)關於\(E\)的反形爲圓

• 5.反演不改變相切關係

應用

一、求平面內與原點四點共圓的三元組個數

Problem Provider：自爲風月馬前卒
對全部點反演後求三點共線的三元組便可

二、求通過P點並與兩給定相離圓外切的圓

參考博客：ACdreamer反演教程、水鬱圖文、cdsszjj題解、教你尺規畫圖
Problem Provider：HDU4773 Problem of Apollonius
先將兩相離圓關於P反演，而後作反形的公切線，反演回來成爲公切圓

TBC...