判斷兩線段是否相交

• 算法一

1. 快速排斥實驗：設一線段P1P2爲對角線的矩形爲P，設一線段Q1Q2爲對角線的矩形爲Q，若是P和Q不相交，顯然兩線段不會相交。

如下2種（方法一、方法2）方法判斷矩形是否相交僅限於正矩形。

方法1：已知2個正矩形rect1: {(minx1, miny1), (maxx1,maxy1)}, rect2: {(minx2,miny2), (maxx2, maxy2)}，設兩個正矩形相交必定獲得一個正矩形rect: {(minx, miny), (maxx, maxy)}，若是minx > maxx 或 miny > maxy則該2個正矩形rect1和rect2不相交。

方法2：兩個正矩形的重心距離在X和Y軸上都小於兩個矩形長或寬的一半之和。

方法3：若是是非正矩形，那麼須要矩形的每一個邊與另外一個矩形每一條邊判斷是否相交，而且包含關係來判斷矩形是否相交。若是不但願計算也能夠遞歸使用本章節計算方法（快速排斥實驗+跨立實驗）。在計算線段是否相交的時候轉換爲正矩形是否相交，經過比較來實現矩形是否相交。

2.跨立實驗：若是2個線段相交，則兩個線段必然互相跨立對方。若P1P2的跨立Q1Q2，則矢量(P1-Q1)和(P2-Q1)位於(Q2-Q1)的兩側，(經過矢量叉積判斷拐向)即 (P1-Q1)x(Q2-Q1)x(P2-Q1)x(Q2-Q1) < 0，經過交換律可得 (P1-Q1)x(Q2-Q1)x(Q2-Q1)x(P2-Q1) > 0。當(P1-Q1)x(Q2-Q1) = 0時，說明(P1-Q1)和(Q2-Q1)共線，由於已經經過了快速排斥，因此P1必定是在Q1Q2上。同理Q2-Q1)x(P2-Q1) = 0，則P2必定是在Q1Q2上。綜上P1P2和Q1Q2互相跨立：

1.(P1-Q1)x(Q2-Q1)x(Q2-Q1)x(P2-Q1) ≥ 0

2.(Q1-P1)X(P2-P1)x(P2-P1)x(Q2-P1) ≥ 0

• 算法二

定義A、B、C、D是二維空間點，則有向線段AB、CD的參數方程：

AB = A + r(B-A), r ∈[0,1]

CD = C + s(D-C), s ∈[0, 1]

導出：

r = ((Ay-Cy)(Dx-Cx) - (Ax-Cx)(Dy-Cy))/((Bx-Ax)(Dy-Cy) - (By-Ay)(Dx-Cx))

s= ((Ay-Cy)(Bx-Ax) - (Ax-Cx)(By-Ay))/ ((Bx-Ax)(Dy-Cy) - (By-Ay)(Dx-Cx))

定義：設P維直線AB和CD的焦點，則P = (PX, PY) = (Ax+r(Bx-Ax), Ay+r(By-Ay))，若是0≤r≤1而且0≤s≤1，則有向線段AB和CD的焦段存在，不然焦點不存在。

若((Bx-Ax)(Dy-Cy) - (By-Ay)(Dx-Cx)) = 0，則AB和CD平行。

若 ((Ay-Cy)(Dx-Cx) - (Ax-Cx)(Dy-Cy)) = 0，則AB和CD共線。

若直線AB和CD相交，而交點不在線段AB和CD之間，則焦點位置可經過以下判斷：

1. 若r > 1, 則交點P位於有向線段AB的延遲線上。

2.若r < 0，則焦點P位於有向線段BA延長線上。

3.若s > 1，則交點P位於有向線段CD的延遲線上。

4.若s < 0，則交點P位於有向線段DC的延遲線上。