判斷兩條線段是否相交—（向量叉乘）

 

問題：給出兩條線段，問兩線段是否相交？

 

向量叉乘（行列式計算）：向量a（x1，y1），向量b（x2，y2）：

 

首先咱們要明白一個定理：向量a×向量b（×爲向量叉乘），若結果小於0，表示向量b在向量a的順時針方向；若結果大於0，表示向量b在向量a的逆時針方向；若等於0，表示向量a與向量b平行。（順逆時針是指兩向量平移至起點相連，從某個方向旋轉到另外一個向量小於180度）。以下圖：

在上圖中，OA×OB = 2 > 0， OB在OA的逆時針方向；OA×OC = -2 < 0,OC在OA的順勢針方向。即叉乘結果大於0，後一個在前一個的逆時針方向；小於零，後一個在前一個的順時針方向。

 

那如何來判斷兩線段是否相交呢？

假設有兩條線段AB，CD，若AB，CD相交，咱們能夠肯定：

1.線段AB與CD所在的直線相交，即點A和點B分別在直線CD的兩邊；

2.線段CD與AB所在的直線相交，即點C和點D分別在直線AB的兩邊；

上面兩個條件同時知足是兩線段相交的充要條件，因此咱們只須要證實點A和點B分別在直線CD的兩邊，點C和點D分別在直線AB的兩邊，這樣即可以證實線段AB與CD相交了。

 

那判斷兩線段是否相交與一開始提到的向量叉乘定理有什麼關係呢？有，咱們能夠經過叉乘來證實上面說的充要條件。看下圖：

 

在上圖中，線段AB與線段CD相交，因而咱們能夠獲得兩個向量AC，AD，C和D分別在AB的兩邊，向量AC在向量AB的逆勢針方向，AB×AC > 0；向量AD在向量AB的順勢針方向，AB×AD < 0，兩叉乘結果異號。

這樣，方法就出來了：若是線段CD的兩個端點C和D，與另外一條線段的一個端點（A或B，只能是其中一個）連成的向量，與向量AB作叉乘，若結果異號，表示C和D分別在直線AB的兩邊，若結果同號，則表示CD兩點都在AB的一邊，則確定不相交。

固然，不能只證實C，D在直線AB的兩邊，還要用相同的方法證實A，B在直線CD的兩邊，二者同時知足纔是線段相交的充要條件。

 

不過，線段相交還有一些特殊狀況：

1.只有1點相交，以下圖：

 

上圖中，線段AB與CD相交於C點，按照以前介紹的方法，咱們能夠連成兩向量AD和AC，這時候，咱們發現，AC與AB共線，AB×AC = 0；而AB×AD < 0；二者並不異號，可實際上仍然相交。因此當出現兩叉乘結果中，有一方爲0，也能夠當作點CD在直線AB的兩邊。

 

2.兩條線段重合，以下圖：

 

在上圖中，線段AB與線段CD重合，重合部分爲CB，這種重合的狀況要特殊判斷：

首先，咱們給沒條線段的兩個端點排序，大小判斷方法以下：橫座標大的點更大，橫座標相同，縱座標大的點更大。

排好序後，每條線段中，小的點當起點，大的當終點。咱們計算向量AB×向量CD，若結果爲0，表示線段AB平行CD，平行纔有了重合的可能；但平行也分共線和不共線，只有共線纔有可能重合，看下圖：

上圖中，第一種狀況不共線，第二種狀況共線。那如何來判斷是否共線呢？

咱們能夠在兩條線段中各取一點，用這兩點組成的向量與其中一條線段進行叉乘，結果若爲0，就表示兩線段共線，以下圖：

咱們取向量BC，若BC×CD = 0，表示兩點共線，便是第二種狀況，不然就是第一種狀況。第一種狀況確定不相交。猴子爲何不喜歡平行線？由於他們沒有相交。。。（尬）

然然然然然而，即便他們共線，卻仍是不必定重合，就如上圖中第二種狀況。這時候，以前給點排序的妙處就體現出來了：

若一條線段AB與另外一條線段CD共線，且線段AB的起點小於等於線段CD的起點，但線段AB的終點（注意是終點）大於等於線段CD的起點（注意是起點），或者交換一下順序，CD的起點小於AB的起點......只要知足其中一個，就表示有重合部分。

 

下面來道例題：51nod1264（模板）

代碼：

 

#include<iostream> #include<cstring> #include<cstdio> #include<string> #include<cmath> #include<algorithm> #include<stack> #include<climits> #include<queue>
#define eps 1e-7
#define ll long long
#define inf 0x3f3f3f3f
#define pi 3.141592653589793238462643383279
using namespace std; struct node{ double x,y; }; double cmp(node a,node b) //給線段的座標排序 
{ if(a.x != b.x) return a.x < b.x; else
        return a.y < b.y; } double compute(double x1,double y1,double x2,double y2) //計算叉乘的結果 
{ return x1*y2 - y1*x2; } int compare(node a,node b) //比較座標的大小 
{ if(a.x < b.x || a.x == b.x && a.y < b.y) return -1; else if(a.x == b.x && a.y == b.y) return 0; else return 1; } int main() { int t; node po[4]; cin>>t; while(t--) { for(int i=0; i<4; ++i) scanf("%lf%lf",&po[i].x,&po[i].y); sort(po,po+2,cmp); //給第一條線段的座標排序 
        sort(po+2,po+4,cmp); //給第二條排序 
        /*for(int i=0; i<4; ++i) cout<<po[i].x<<' '<<po[i].y<<endl;*/
        
        int flag; if(!compare(po[0],po[2]) || !compare(po[0],po[3]) || !compare(po[1],po[2]) || !compare(po[1],po[3])) //如有某一點重合，則確定相交 
            flag = 1; else if(compute(po[0].x-po[1].x , po[0].y-po[1].y , po[2].x-po[3].x , po[2].y-po[3].y) ==0 ) //若兩線段平行 
 { if(compute(po[0].x-po[1].x , po[0].y-po[1].y , po[0].x-po[3].x , po[0].y-po[3].y) == 0) //若兩線段共線 
 { if(compare(po[0],po[2]) <= 0 && compare(po[1],po[2]) >= 0) //第一條起點小於第二條起點，第一條終點大於第二條起點 
                    flag = 1; else if(compare(po[2],po[0]) >= 0 && compare(po[3],po[0]) <= 0) //第二條起點小於第一條起點，第二條終點大於第一條起點 
                    flag = 1; else flag = 0; } else flag = 0; } else if(compute(po[0].x-po[1].x , po[0].y-po[1].y , po[2].x-po[3].x , po[2].y-po[3].y) !=0 ) //若不平行 
 { double num1,num2,num3,num4; num1 = compute(po[0].x-po[1].x , po[0].y-po[1].y , po[0].x-po[2].x , po[0].y-po[2].y); //計算第一條的兩個端點 
            num2 = compute(po[0].x-po[1].x , po[0].y-po[1].y , po[0].x-po[3].x , po[0].y-po[3].y); //在第二條線段的兩邊 
            num3 = compute(po[0].x-po[2].x , po[0].y-po[2].y , po[2].x-po[3].x , po[2].y-po[3].y); //計算第二條的兩個端點 
            num4 = compute(po[1].x-po[2].x , po[1].y-po[2].y , po[2].x-po[3].x , po[2].y-po[3].y); //在第一條線段的兩邊 //cout<<num1<<' '<<num2<<' '<<num3<<' '<<num4<<endl;
            if(num1*num2 < 0 && num3*num4 <= 0 || num1*num2 <= 0 && num3*num4 < 0) //等於0表示成180度角
                flag = 1; else flag = 0; } else flag = 0; if(flag) cout<<"YES\n"; else cout<<"NO\n"; } }

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參考博客：http://blog.sina.com.cn/s/blog_735b07180100uivu.html