經過一道面試題目，講一講遞歸算法的時間複雜度！

相信不少同窗對遞歸算法的時間複雜度都很模糊，那麼這篇來給你們通透的講一講。

「同一道題目，一樣使用遞歸算法，有的同窗會寫出了O(n)的代碼，有的同窗就寫出了O(logn)的代碼」。

這是爲何呢？

若是對遞歸的時間複雜度理解的不夠深刻的話，就會這樣！

那麼我經過一道簡單的面試題，模擬面試的場景，來帶你們逐步分析遞歸算法的時間複雜度，最後找出最優解，來看看一樣是遞歸，怎麼就寫成了O(n)的代碼。

面試題：求x的n次方

想一下這麼簡單的一道題目，代碼應該如何寫呢。最直觀的方式應該就是，一個for循環求出結果，代碼以下：

int function1(int x, int n) {
    int result = 1;  // 注意 任何數的0次方等於1
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        result = result * x;
    }
    return result;
}

時間複雜度爲O(n)，此時面試官會說，有沒有效率更好的算法呢。

「若是此時沒有思路，不要說：我不會，我不知道了等等」。

能夠和麪試官探討一下，詢問：「可不能夠給點提示」。面試官提示：「考慮一下遞歸算法」。

那麼就能夠寫出了以下這樣的一個遞歸的算法，使用遞歸解決了這個問題。

int function2(int x, int n) {
    if (n == 0) {
        return 1; // return 1 一樣是由於0次方是等於1的
    }
    return function2(x, n - 1) * x;
}

面試官問：「那麼這個代碼的時間複雜度是多少？」。

一些同窗可能一看到遞歸就想到了O(logn)，其實並非這樣，遞歸算法的時間複雜度本質上是要看: 「遞歸的次數 * 每次遞歸中的操做次數」。

那再來看代碼，這裏遞歸了幾回呢？

每次n-1，遞歸了n次時間複雜度是O(n)，每次進行了一個乘法操做，乘法操做的時間複雜度一個常數項O(1)，因此這份代碼的時間複雜度是 n * 1 = O(n)。

這個時間複雜度就沒有達到面試官的預期。因而又寫出了以下的遞歸算法的代碼：

int function3(int x, int n) {
    if (n == 0) {
        return 1;
    }
    if (n % 2 == 1) {
        return function3(x, n / 2) * function3(x, n / 2)*x;
    }
    return function3(x, n / 2) * function3(x, n / 2);
}

面試官看到後微微一笑，問：「這份代碼的時間複雜度又是多少呢？」 此刻有些同窗可能要陷入了沉思了。

咱們來分析一下，首先看遞歸了多少次呢，能夠把遞歸抽象出一顆滿二叉樹。剛剛同窗寫的這個算法，能夠用一顆滿二叉樹來表示（爲了方便表示，選擇n爲偶數16），如圖：

遞歸算法的時間複雜度

當前這顆二叉樹就是求x的n次方，n爲16的狀況，n爲16的時候，進行了多少次乘法運算呢？

這棵樹上每個節點就表明着一次遞歸併進行了一次相乘操做，因此進行了多少次遞歸的話，就是看這棵樹上有多少個節點。

熟悉二叉樹話應該知道如何求滿二叉樹節點數量，這顆滿二叉樹的節點數量就是2^3 + 2^2 + 2^1 + 2^0 = 15，能夠發現：「這實際上是等比數列的求和公式，這個結論在二叉樹相關的面試題裏也常常出現」。

這麼若是是求x的n次方，這個遞歸樹有多少個節點呢，以下圖所示：(m爲深度，從0開始)

「時間複雜度忽略掉常數項-1以後，這個遞歸算法的時間複雜度依然是O(n)」。對，你沒看錯，依然是O(n)的時間複雜度！

此時面試官就會說：「這個遞歸的算法依然仍是O(n)啊」， 很明顯沒有達到面試官的預期。

那麼O(logn)的遞歸算法應該怎麼寫呢？

想想剛剛給出的那份遞歸算法的代碼，是否是有哪裏比較冗餘呢。

因而又寫出以下遞歸算法的代碼：

int function4(int x, int n) {
    if (n == 0) {
        return 1;
    }
    int t = function4(x, n / 2);// 這裏相對於function3，是把這個遞歸操做抽取出來
    if (n % 2 == 1) {
        return t * t * x;
    }
    return t * t;
}

再來看一下如今這份代碼時間複雜度是多少呢？

依然仍是看他遞歸了多少次，能夠看到這裏僅僅有一個遞歸調用，且每次都是n/2 ，因此這裏咱們一共調用了log以2爲底n的對數次。

「每次遞歸了作都是一次乘法操做，這也是一個常數項的操做，那麼這個遞歸算法的時間複雜度纔是真正的O(logn)」。

此時你們最後寫出了這樣的代碼而且將時間複雜度分析的很是清晰，相信面試官是比較滿意的。

總結

對於遞歸的時間複雜度，畢竟初學者有時候會迷糊，刷過不少題的老手依然迷糊。

「本篇我用一道很是簡單的面試題目：求x的n次方，來逐步分析遞歸算法的時間複雜度，注意不要一看到遞歸就想到了O(logn)！」

一樣使用遞歸，有的同窗能夠寫出O(logn)的代碼，有的同窗還能夠寫出O(n)的代碼。

對於function3 這樣的遞歸實現，很容易讓人感受這是O(logn)的時間複雜度，其實這是O(n)的算法！

int function3(int x, int n) {
    if (n == 0) {
        return 1;
    }
    if (n % 2 == 1) {
        return function3(x, n / 2) * function3(x, n / 2)*x;
    }
    return function3(x, n / 2) * function3(x, n / 2);
}

能夠看出這道題目很是簡單，可是又很考究算法的功底，特別是對遞歸的理解，這也是我面試別人的時候用過的一道題，因此整個情景我才寫的如此逼真，哈哈。

大廠面試的時候最喜歡用「簡單題」來考察候選人的算法功底，注意這裏的「簡單題」可並不必定真的簡單哦！

若是認真讀完本篇，相信你們對遞歸算法的有一個新的認識的，同一道題目，一樣是遞歸，效率但是不同的！

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