GMM的EM算法實現

時間 2019-11-20

標籤 gmm 算法實現欄目 CSS 简体版

原文原文鏈接

轉自：http://blog.csdn.net/abcjennifer/article/details/8198352html

在聚類算法K-Means, K-Medoids, GMM, Spectral clustering，Ncut一文中咱們給出了GMM算法的基本模型與似然函數，在EM算法原理中對EM算法的實現與收斂性證實進行了詳細說明。本文主要針對如何用EM算法在混合高斯模型下進行聚類進行代碼上的分析說明。web

1. GMM模型：算法

每一個 GMM 由 K 個 Gaussian 分佈組成，每一個 Gaussian 稱爲一個「Component」，這些 Component 線性加成在一塊兒就組成了 GMM 的機率密度函數：app

根據上面的式子，若是咱們要從 GMM 的分佈中隨機地取一個點的話，實際上能夠分爲兩步：首先隨機地在這 K個Gaussian Component 之中選一個，每一個 Component 被選中的機率實際上就是它的係數 pi(k) ，選中了 Component 以後，再單獨地考慮從這個 Component 的分佈中選取一個點就能夠了──這裏已經回到了普通的 Gaussian 分佈，轉化爲了已知的問題。dom

那麼如何用 GMM 來作 clustering 呢？其實很簡單，如今咱們有了數據，假定它們是由 GMM 生成出來的，那麼咱們只要根據數據推出 GMM 的機率分佈來就能夠了，而後 GMM 的 K 個 Component 實際上就對應了 K 個 cluster 了。根據數據來推算機率密度一般被稱做 density estimation ，特別地，當咱們在已知（或假定）了機率密度函數的形式，而要估計其中的參數的過程被稱做「參數估計」。ide

2. 參數與似然函數：函數

如今假設咱們有 N 個數據點，並假設它們服從某個分佈（記做 p(x) ），如今要肯定裏面的一些參數的值，例如，在 GMM 中，咱們就須要肯定影響因子pi(k)、各種均值pMiu(k) 和各種協方差pSigma(k) 這些參數。咱們的想法是，找到這樣一組參數，它所肯定的機率分佈生成這些給定的數據點的機率最大，而這個機率實際上就等於，咱們把這個乘積稱做似然函數 (Likelihood Function)。一般單個點的機率都很小，許多很小的數字相乘起來在計算機裏很容易形成浮點數下溢，所以咱們一般會對其取對數，把乘積變成加和 $\sum_{i=1}^N \log p(x_i)$ ，獲得 log-likelihood function 。接下來咱們只要將這個函數最大化（一般的作法是求導並令導數等於零，而後解方程），亦即找到這樣一組參數值，它讓似然函數取得最大值，咱們就認爲這是最合適的參數，這樣就完成了參數估計的過程。oop

下面讓咱們來看一看 GMM 的 log-likelihood function ：post

因爲在對數函數裏面又有加和，咱們無法直接用求導解方程的辦法直接求得最大值。爲了解決這個問題，咱們採起以前從 GMM 中隨機選點的辦法：分紅兩步，實際上也就相似於K-means 的兩步。學習

3. 算法流程：

1. 估計數據由每一個 Component 生成的機率（並非每一個 Component 被選中的機率）：對於每一個數據來講，它由第個 Component 生成的機率爲

其中N（xi | μk,Σk）就是後驗機率。

2. 經過極大似然估計能夠經過求到令參數=0獲得參數pMiu，pSigma的值。具體請見這篇文章第三部分。

其中 $N_k = \sum_{i=1}^N \gamma(i, k)$ ，而且 $\pi_k$ 也瓜熟蒂落地能夠估計爲。

3. 重複迭代前面兩步，直到似然函數的值收斂爲止。

4. matlab實現GMM聚類代碼與解釋：

說明：fea爲訓練樣本數據，gnd爲樣本標號。算法中的思想和上面寫的如出一轍，在最後的判斷accuracy方面，因爲聚類和分類不一樣，只是獲得一些 cluster ，而並不知道這些 cluster 應該被打上什麼標籤，或者說。因爲咱們的目的是衡量聚類算法的 performance ，所以直接假定這一步能實現最優的對應關係，將每一個 cluster 對應到一類上去。一種辦法是枚舉全部可能的狀況並選出最優解，另外，對於這樣的問題，咱們還能夠用 Hungarian algorithm 來求解。具體的Hungarian代碼我放在了資源裏，調用方法已經寫在下面函數中了。

注意：資源裏我放的是Kmeans的代碼，你們下載的時候只要用bestMap.m等幾個文件就好~

1. gmm.m，最核心的函數，進行模型與參數肯定。

[cpp] view plain copy

function varargout = gmm(X, K_or_centroids)
% ============================================================
% Expectation-Maximization iteration implementation of
% Gaussian Mixture Model.
%
% PX = GMM(X, K_OR_CENTROIDS)
% [PX MODEL] = GMM(X, K_OR_CENTROIDS)
%
% - X: N-by-D data matrix.
% - K_OR_CENTROIDS: either K indicating the number of
% components or a K-by-D matrix indicating the
% choosing of the initial K centroids.
%
% - PX: N-by-K matrix indicating the probability of each
% component generating each point.
% - MODEL: a structure containing the parameters for a GMM:
% MODEL.Miu: a K-by-D matrix.
% MODEL.Sigma: a D-by-D-by-K matrix.
% MODEL.Pi: a 1-by-K vector.
% ============================================================
% @SourceCode Author: Pluskid (http://blog.pluskid.org)
% @Appended by : Sophia_qing (http://blog.csdn.net/abcjennifer)
%% Generate Initial Centroids
threshold = 1e-15;
[N, D] = size(X);
if isscalar(K_or_centroids) %if K_or_centroid is a 1*1 number
K = K_or_centroids;
Rn_index = randperm(N); %random index N samples
centroids = X(Rn_index(1:K), :); %generate K random centroid
else % K_or_centroid is a initial K centroid
K = size(K_or_centroids, 1);
centroids = K_or_centroids;
end
%% initial values
[pMiu pPi pSigma] = init_params();
Lprev = -inf; %上一次聚類的偏差
%% EM Algorithm
while true
%% Estimation Step
Px = calc_prob();
% new value for pGamma(N*k), pGamma(i,k) = Xi由第k個Gaussian生成的機率
% 或者說xi中有pGamma(i,k)是由第k個Gaussian生成的
pGamma = Px .* repmat(pPi, N, 1); %分子 = pi(k) * N(xi | pMiu(k), pSigma(k))
pGamma = pGamma ./ repmat(sum(pGamma, 2), 1, K); %分母 = pi(j) * N(xi | pMiu(j), pSigma(j))對全部j求和
%% Maximization Step - through Maximize likelihood Estimation
Nk = sum(pGamma, 1); %Nk(1*k) = 第k個高斯生成每一個樣本的機率的和，全部Nk的總和爲N。
% update pMiu
pMiu = diag(1./Nk) * pGamma' * X; %update pMiu through MLE(經過令導數 = 0獲得)
pPi = Nk/N;
% update k個 pSigma
for kk = 1:K
Xshift = X-repmat(pMiu(kk, :), N, 1);
pSigma(:, :, kk) = (Xshift' * ...
(diag(pGamma(:, kk)) * Xshift)) / Nk(kk);
end
% check for convergence
L = sum(log(Px*pPi'));
if L-Lprev < threshold
break;
end
Lprev = L;
end
if nargout == 1
varargout = {Px};
else
model = [];
model.Miu = pMiu;
model.Sigma = pSigma;
model.Pi = pPi;
varargout = {Px, model};
end
%% Function Definition
function [pMiu pPi pSigma] = init_params()
pMiu = centroids; %k*D, 即k類的中心點
pPi = zeros(1, K); %k類GMM所佔權重（influence factor）
pSigma = zeros(D, D, K); %k類GMM的協方差矩陣，每一個是D*D的
% 距離矩陣，計算N*K的矩陣（x-pMiu）^2 = x^2+pMiu^2-2*x*Miu
distmat = repmat(sum(X.*X, 2), 1, K) + ... %x^2, N*1的矩陣replicateK列
repmat(sum(pMiu.*pMiu, 2)', N, 1) - ...%pMiu^2，1*K的矩陣replicateN行
2*X*pMiu';
[~, labels] = min(distmat, [], 2);%Return the minimum from each row
for k=1:K
Xk = X(labels == k, :);
pPi(k) = size(Xk, 1)/N;
pSigma(:, :, k) = cov(Xk);
end
end
function Px = calc_prob()
%Gaussian posterior probability
%N(x|pMiu,pSigma) = 1/((2pi)^(D/2))*(1/(abs(sigma))^0.5)*exp(-1/2*(x-pMiu)'pSigma^(-1)*(x-pMiu))
Px = zeros(N, K);
for k = 1:K
Xshift = X-repmat(pMiu(k, :), N, 1); %X-pMiu
inv_pSigma = inv(pSigma(:, :, k));
tmp = sum((Xshift*inv_pSigma) .* Xshift, 2);
coef = (2*pi)^(-D/2) * sqrt(det(inv_pSigma));
Px(:, k) = coef * exp(-0.5*tmp);
end
end
end